指向性スピーカーの科学 #06 — 空気がスピーカーになる魔法：PAA非線形音響

第2回で予告した約束を果たすときが来ました。指向性スピーカーの心臓——パラメトリックアレイ（Parametric Acoustic Array, PAA）を本格的に扱います。「空気がスピーカーになる」という表現がどんな物理から出てくるのか、今回で原理を立て、次回で数式によって確認します。

1951年ロンドンの偶然——Westerveltの発見

1951年ロンドン、物理学者ピーター・ウェスターベルト（Peter J. Westervelt）は、強力な超音波ビームのあいだで意図しない可聴周波数が発生する現象を目にします。聞こえないはずの超音波が二つ出会う場所で、聞こえる音が生まれたのです。彼は流体力学の基礎であるライトヒル方程式（Lighthill's Equation）を適用して非線形媒質内の音響散乱理論を立て、これが現代の超指向性スピーカーと水中ソナーの理論的基盤になります。第5回の歴史年表で見た「1960s Westervelt」とは、まさにこの話です。

ライトヒルが1952年に立てた式は、もともとジェットエンジンの騒音がなぜ発生するのかを説明しようとしたものでした。その式の核心にあるのは、流体の運動そのものを「音響学的な等価音源」に置き換えて書くという発想です。流体が激しく動く領域を、静かな媒質の中に置かれた仮想の音源分布に置き換えてしまう考え方です。ウェスターベルトがしたのは、その等価音源の位置に乱流ではなく強い超音波ビームがつくる圧力場を代入することでした。航空騒音を解くためにつくられた道具が、指向性スピーカーの理論的基盤になったわけです。

当時としてはこの発想は常識に反していました。音響学の基本前提は音は互いを通り抜けるだけで互いを変えないという重ね合わせの原理であり、二つの音が出会って第三の音を生むという主張は、その前提を正面から否定するものだったからです。ウェスターベルトの理論がしたのは、その例外がいつ、どれだけ起こるのかを定量化することでした。

空気の二つの顔——線形と非線形

PAAを理解する鍵は、空気が音のエネルギーの大きさによって異なる振る舞いをするという事実です。

• 線形性（Linearity）——予測可能な穏やかさ：音のエネルギーが小さいとき、空気は入力された信号を歪みなく正比例で伝えます。私たちが聞くほとんどの音はこの領域にあり、このときは複数の音が重なっても互いを変えません（重ね合わせの原理）。
• 非線形性（Nonlinearity）——強大なエネルギーによる歪み：音圧が極度に大きくなると、空気の圧縮と膨張はもはや対称ではありません。波形が歪みながらもとになかった新しい周波数成分が生まれます。

伝統的な音響学が守ってきた重ね合わせの原理を「破る」この第二の領域が、PAAの舞台です。ただし誤解しやすい点があります——線形と非線形は別々の二種類の空気ではありません。空気は常に非線形であり、ただ音圧が小さいときにその非線形項が無視できるほど小さく、線形のように見えているだけです。日常会話の60dBの音圧でも非線形成分は存在します。ただ小さすぎて誰も気づかないだけなのです。

なぜ非線形が生じるのか——音速が振幅に乗る

波形が歪む理由は驚くほど単純です。音のそれぞれの部分が異なる速度で進むからです。原因は二重になっています。

• 媒質そのものの非線形（状態方程式の項）——空気を圧縮すると密度だけでなく剛性も一緒に上がります。圧縮された部分はもとより硬くなり、音速が速くなります。
• 対流項——圧縮された部分の空気の粒子は、波の進行方向へ実際に押し流されます。その上に乗った波は「動く床」の上を走るので、地面基準の速度がそのぶん加算されます。

二つを合わせると、ある地点の局所音速は次のように書けます。

c(u) = c₀ + β·u　（u = 粒子速度、β = 非線形係数、空気では β ≈ 1.2）

ここでβは媒質の状態方程式から出てくる値で、空気の場合は B/A ≈ 0.4 から β = 1 + B/2A ≈ 1.2 になります。実際にこの効果がどれほどかを計算してみると感覚がつかめます。粒子速度は u = p/(ρ₀c₀) なので、音圧レベル別に整理すると次のようになります。

音圧レベル	音圧 p	粒子速度 u	音速変化 β·u	c₀に対する変化率
120dB	20.0Pa	0.048m/s	0.058m/s	0.017%
130dB	63.2Pa	0.153m/s	0.184m/s	0.054%
140dB	200.0Pa	0.484m/s	0.581m/s	0.169%
150dB	632.5Pa	1.531m/s	1.837m/s	0.535%

表で注目すべきは変化率がとてつもなく小さいという事実です。140dBという極端な音圧でも音速の差はわずか0.17%にすぎません。それでも波形が目に見えて歪む理由は、この微細な速度差が距離に沿って積み上がり続けるからです。山が谷よりほんの少し速く走る状態で数メートル進めば、山が前の谷を少しずつ追いつき、波形の前面が急峻になります。これが波形の先鋭化（waveform steepening）です。

先鋭化から衝撃まで——距離がつくる歪み

先鋭化が最後まで進むと波形の前面が垂直に近づき、この地点を衝撃形成（shock formation）と呼びます。最初に衝撃が形成される距離は次の関係で見積もります。

x̄ = ρ₀c₀³ / (β · ω · p₀)　（ω = 2πf、p₀ = 音圧振幅）

式が語るのは三つです。音圧が大きいほど、周波数が高いほど、非線形係数が大きいほど、衝撃は近くで形成されます。40kHzの空気中で音圧別に計算するとこうなります。併記した吸収長は、第4回の吸収係数1.318dB/mから求めた値（振幅が1/eまで減る距離6.59m）です。

音圧レベル（40kHz）	衝撃形成距離 x̄	吸収長との比	解釈
120dB	8.07m	0.82	衝撃が形成される前に吸収で消える
125dB	4.54m	1.45	境界領域——弱い歪みのみ蓄積
130dB	2.55m	2.58	実用領域——十分な非線形、波形はまだ緩やか
140dB	0.81m	8.17	強い非線形——放射面近傍ですでに歪む
150dB	0.26m	25.83	飽和領域——エネルギーが高調波へ漏れ出す

三列目の比はゴールドベルグ数と呼ばれる指標で、非線形が勝つのか吸収が勝つのかを測る値です。1より小さければ歪みが育つ前に空気が先にエネルギーを食べてしまい、1より大きければ歪みが育つ時間を稼げます。パラメトリックスピーカーが130dB前後の高い音圧を要求する理由がここにあります。音を大きく出したいのではなく、非線形が吸収に勝つ領域に入って初めて空気が復調器の役目を果たすからです。

同時にこの表はこの技術の上限も教えてくれます。音圧を無限に上げれば衝撃が放射面のすぐ手前で形成され、そこからはエネルギーが私たちの望む差周波ではなく高調波のほうへ抜けていきます。つまり強く叩けば叩くほど良くなるわけではありません。非線形は望む成分と望まない成分を区別せず、一緒に育ててしまいます。

自己復調——空気がみずから音を復元する

具体的な数字で見ると魔法は解けます。トランスデューサが二つの超音波——搬送波f1 = 40kHzと変調された波f2 = 41kHz——を強く放つと、非線形な空気の中で二つの波が相互作用し、新しい周波数が生じます。

• 和周波数（f1+f2 = 81kHz）——依然として超音波です。聞こえず、高い周波数なのですぐ減衰して消えます。
• 差周波数（f2−f1 = 1kHz）——可聴周波数です。耳に聞こえる音が空気のただ中で生まれます。

音声信号で変調した超音波を放てば、この差周波成分がそのまま元の音声になります。スピーカーが音をつくるのではなく空気が超音波をみずから復調（Self-Demodulation）して音を再生するのです。第2回で直感的にだけ説明したあの現象の正体です。

ただし実際に生まれる成分は二つではありません。2次の非線形は二つの信号の積に相当するのであらゆる組み合わせが一度に生成されます。上の条件で出てくる成分を整理すると次のようになります。

生成成分	周波数	可聴か	その運命
差周波数 (f2−f1)	1kHz	聞こえる	私たちが望む信号——吸収がほとんどなく遠くまで届く
和周波数 (f1+f2)	81kHz	聞こえない	吸収が大きく急速に消滅
2次高調波 (2f1)	80kHz	聞こえない	同上——搬送波エネルギーの損失分
2次高調波 (2f2)	82kHz	聞こえない	同上
元の搬送波 (f1, f2)	40・41kHz	聞こえない	1mあたり1.3dBで減りつつ仮想音源を供給し続ける

表が示す構造こそがこの技術の核心です。生成された成分のうち差周波数だけが生き残ります。残りはすべて超音波帯域なので、空気が速やかに吸収してしまいます。つまり空気は音を生み出すと同時に不要な成分を濾し取る低域通過フィルターの役目まで果たしています。設計者がフィルターを付けなくても、媒質が勝手に整理してくれるわけです。

仮想エンドファイアアレイ——数メートルの見えないスピーカー

ではなぜ、こうしてつくられた音はあれほど狭く進むのでしょうか。非線形の相互作用はビームが通る経路全体で連続的に起こります。つまり超音波ビームが通過する数メートルの空気の柱がまるごと仮想音源の列（Virtual Source Column）になります。音響学では音源を進行方向へ一列に並べた構造をエンドファイアアレイ（End-fire Array）と呼びますが、物理的なスピーカーは手のひらほどでも、空気中に数メートルの仮想アレイができあがるわけです。第4回で見た指向性の条件（D≫λ）を思い出してください——音源が長いほどビームは鋭くなります。その結果がビーム幅1〜3°の超指向性可聴音です。

この仮想アレイの大きさを実際に測ってみると、なぜあれほど狭いビームが出るのかがより明確になります。アレイの長さは搬送波が生きている区間、すなわち吸収長で決まります。40kHzなら約6.6mです。アレイの太さは超音波ビームの直径に閉じ込められます。直径300mmのパネルならビームが1.7°と狭いので、仮想音源の柱はおおよそ直径0.3m・長さ6.6mの細長い円柱になります。縦横比でいえば22対1です。

ここにこの技術の本当のトリックが隠れています。同じ1kHzを直径300mmのスピーカーから直接出せば、ビーム幅は67.5°です（第5回の式で計算）。部屋全体へ広がる音です。ところが同じ1kHzが仮想アレイで生まれると数度のビームになります。同じ周波数、同じ波長なのに指向性がまったく違うのです。違いをつくるのは音の周波数ではなくその音を生んだ音源の幾何学です。可聴音が300mmの板ではなく6.6mの柱から生まれたため、回折の法則が6.6mを基準に適用されるのです。

この観点は実務的な含意も持ちます。搬送波が壁に遮られたり吸収が大きい条件では仮想アレイの長さが短くなり、そのぶん可聴音のビームも広がります。第4回で見た湿度による吸収の変動が、音圧だけでなく指向性にも影響するという意味です。梅雨どきに音がこもると同時に集まりにくくなるのは、同じ原因の二つの顔です。

ただではない——変換効率という代償

ここまで読むと完璧な技術のように見えますが、PAAはきわめて非効率な方式です。2次の非線形は本質的に小さな効果であり、私たちが使っているのはその小さな効果の産物だからです。先の表で130dBという値が出てきたことをもう一度見てください。一般的なスピーカーが会話程度の音を出すのに必要な音圧よりはるかに大きな超音波を注ぎ込んで、ようやくその一部が可聴音に変わります。

さらに第2回で見た自己復調の関係——可聴成分が包絡線の二乗の2階微分に比例するという事実——が低域に追加の負担を課します。2階微分は周波数が2倍になるごとに12dBずつ利得が上がるので、裏返せば周波数が低くなるほど12dB/octで損をします。1kHzでよく出ていた音が100Hzではその傾きどおり40dB低くなるということです。パラメトリックスピーカーが声の伝達には優れていても、音楽再生、とりわけ低域に弱い理由がここにあります。

まとめると、この技術は三つのものを交換しています。

• 指向性を得て効率を失います。狭いビームの代償は低い変換効率です。
• 高域を得て低域を失います。12dB/octの傾きは物理から出てくるので、回路で完全には戻せません（補正しようとすればそのぶん超音波出力を押し上げねばならず、すると歪みと発熱が増えます）。
• 距離を得て条件依存性を得ます。温湿度によって音圧も指向性も一緒に揺れます。

よくある誤解と限界

• 「二つの超音波が出会う地点でだけ音が出る」——違います。相互作用は二つの波が重なっているすべての地点で起こり、その結果が経路に沿って積み上がります。特定の交点で音が「点火」されるのではなく、ビーム全体が一つの長い音源です。この誤解は、二つのビームを交差させて望む座標にだけ音を浮かべようという誤った設計につながりがちです。
• 「空気が非線形なら一般的なスピーカーの音も歪むはず」——原理的には正しいのですが、実際には無視できる水準です。先の表のとおり120dBでも音速の変化は0.017%であり、可聴周波数は波長が長いので同じ距離ではるかに少ない位相の積み上げしか経験しません。非線形が実用的な意味を持つのは高い周波数と高い音圧が同時に成り立つときだけです。
• 「超音波を二つ使うのだからスピーカーも二つ必要だ」——違います。実際の実装は一つのトランスデューサ配列から変調された単一の信号を放射します。40kHzと41kHzは、その変調信号の側波帯を説明するための便宜的な分解にすぎません（第2回のAM変調の説明を参照）。
• 「真空に近いほどうまくいくはず」——正反対です。非線形の相互作用は媒質があってこそ起こります。空気が希薄になれば密度ρ₀が減って放射そのものが難しくなり、つくられる可聴音も一緒に減ります。この技術は空気があってはじめて成り立つ技術です。

まとめ——PAAの三本柱

1. 非線形の仮定——強い音圧のもとで空気は新しい周波数をつくる非線形媒質になる。
2. 超音波搬送波——可聴信号を40kHz帯の超音波に載せて強く放射する。
3. 仮想アレイ——経路全体が音源となり、差周波の可聴音が1〜3°のビームとして生まれる。

三本柱を一つの文に圧縮すればこうなります——波長の短い波でビームをつくり、そのビームの中で波長の長い音を生む。ビームをつくる波長と人が聞く波長を分離したからこそ、手のひらほどの装置がメートル級の波長の音を数度のビームで送れるのです。第5回で比較した他の方式がついに越えられなかった壁を、この技術だけが越えた理由です。

次回はこの現象を支配する数式——Berktayの遠距離解、Westervelt方程式、KZK方程式——を技術者の目線で読んでみます。数式が怖くならないよう、それぞれの式が「何を教えてくれる道具なのか」を中心に扱います。

シリーズ案内

「指向性スピーカーの科学」は以下の順で続きます。

1. 指向性スピーカーとは何か——音の懐中電灯
2. 聞こえない音に音を載せる——動作原理への第一歩
3. 指向性スピーカーの活用事例——展示・安全・リテール・オフィス
4. 超音波とは何か——定義・種類・伝搬特性
5. なぜ超音波なのか——生成原理と応用地図
6. 空気がスピーカーになる魔法——PAA非線形音響（今回）
7. 以降：PAA理論の深化、ビームフォーミング、圧電トランスデューサ、ナイキスト、変調、信号処理

本シリーズは、超音波指向性音響技術を自ら研究・整理した自作の講義資料をブログ形式で再構成したものです。図版は当該資料から抜粋しています。

参考資料

• P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963)：パラメトリックアレイ理論の原典——本文全体の理論的出発点
• M. J. Lighthill, "On sound generated aerodynamically I. General theory," Proc. R. Soc. A 211, 564 (1952)：流体運動を等価音源に置き換えるライトヒル方程式——ウェスターベルト理論の土台
• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," J. Sound Vib. 2(4), 435 (1965)：自己復調成分が包絡線の二乗の2階微分に比例するという関係——本文12dB/oct低域損失の根拠
• "Parameter of Nonlinearity in Fluids," JASA 32(6), 719 (1960)：媒質の非線形係数B/Aの定義と測定——本文 β = 1 + B/2A ≈ 1.2 の根拠
• "Experimental investigation of a characteristic shock formation distance in finite-amplitude sound," Proc. Meet. Acoust. 12, 045002 (2011)：衝撃形成距離 x̄ = ρ₀c₀³/(βωp₀) の実験的検証——本文の衝撃距離表の計算式
• H. E. Bass et al., "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995)：40kHzの吸収係数1.318dB/mと吸収長6.59m計算の根拠
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：空気中のパラメトリックアレイで可聴音をつくった最初の報告
• T. Kamakura et al., Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991)：空気中パラメトリック音源の放射特性——仮想音源列の実測的根拠
• パラメトリックアレイスピーカーのレビュー（オープンアクセス）：自己復調・仮想アレイ・変換効率をまとめた概観文献
• US 4,823,908 — Directional loudspeaker system (1989)：超音波搬送波を用いた指向性音響再生の実装特許
• Nonlinear acoustics — Wikipedia：波形先鋭化・衝撃形成・ゴールドベルグ数の概念整理