指向性スピーカーの科学 #13 — 指向性スピーカーの変調戦略：共振とPWM

第12回で予告した判定戦です。AM・FM・PWMの三つの変調方式が、指向性スピーカーという特殊なリングの上でそれぞれどんな判定を受けるのか——理論（Berktay）とハードウェア（トランスデューサ共振）の両面から見ていきます。結論から言えば、勝者は「AMで設計しPWMで駆動する」という二段戦略です。

FMの脱落——数学が下す判定

第7回のBerktayの法則をもう一度取り出します——空気が復元する音はP_aud(t) ∝ ∂²/∂t² [E(t)]²、すなわち包絡線E(t)の二乗を二回微分したものです。ところがFM信号の振幅は定数です。定数を微分すればいつでも0——理論的にFM信号は空気中で何の音も作れません。

ところが実験室でFMを放つと音は聞こえます。なぜでしょうか。空気が復調したからではなく、トランスデューサがFMをAMに強制変換したからです（スロープ検波）。狭い共振曲線の急な斜面の上で周波数が揺れると出力振幅も一緒に揺れ、意図しないAMが生まれるのです。問題はその代償です——共振曲線は線形ではないので極端な歪み（THD）が生じ、共振点を外れたエネルギーは熱として散逸し、素子の破損まで招きかねません。FMは脱落です。

ただし「脱落」は「研究終了」を意味しません。FMは振幅が一定なので増幅器を飽和領域で回すことができ、電力効率がよいため、その利点を活かそうという試みは続いてきました。共振曲線が生む非線形変換をあらかじめ逆算して信号に埋め込む補償手法が代表的です（Hatanoほか、2017）。結局FMを使うということは、空気ではなくトランスデューサを復調器とし、その復調器の非線形性を丸ごとモデル化するという意味になります。部品ばらつきや温度で共振曲線が動く現実を考えれば、同じ労力をAM側の前処理に使うほうがはるかに割に合います。

ハードウェアの事情——トランスデューサの共振特性を読む

なぜトランスデューサはこれほど「偏狭な」共振曲線を持つのでしょうか。第9・10回の内容がここで合流します。トランスデューサは共振周波数f_rで最大振動・最大効率を出し（インピーダンス最小）、その曲線の鋭さはQ値が、使える幅は帯域幅（BW）が決めます。指向性スピーカーが歪みなく再生するには、搬送波と側波帯の全体がこの帯域幅の中に収まらなければなりません。温度やホーン装着といった環境要因でf_rが微妙に動くことまで勘定に入れる、余裕の少ない舞台です。

この制約は言葉ではなく数字で見ると実感できます。共振系の定義からBW = f_r / Qであり、両側波帯（DSB）で変調すれば占有帯域はオーディオ上限の二倍になるので、載せられるオーディオの上限はBW / 2です。搬送波40kHzで計算すると次のようになります。

トランスデューサ Q	-3dB帯域幅（f_r=40kHz）	DSBでのオーディオ上限	SSBでのオーディオ上限	実務上の意味
3	13.3kHz	6.7kHz	13.3kHz	広帯域だが感度・音圧を大きく損なう
5	8.0kHz	4.0kHz	8.0kHz	音声案内には十分、音楽はこもる
10	4.0kHz	2.0kHz	4.0kHz	話し声の明瞭度の下限付近
20	2.0kHz	1.0kHz	2.0kHz	高感度素子の典型、音声も手狭
30	1.33kHz	0.67kHz	1.33kHz	警報音・単一トン専用

表が語ることは明白です。Qを上げれば音圧を得て帯域を失います。圧電素子を共振で回す理由は同じ電圧ではるかに大きい振幅を得るためですが、その利得はまさに帯域幅を売って買ったものです。指向性スピーカー設計がとりわけ窮屈な理由がここにあります——パラメトリックアレイは超音波音圧の二乗に比例して音を作るため音圧を諦められず、かといって帯域を諦めれば再生するオーディオが残りません。

そこで実際のアレイは少しずつ違うf_rを持つ素子を混ぜて合成帯域を広げるか、背面空気室・整合層で機械的Qを意図的に下げます。いずれにせよ、表の右の欄を得る代わりに左の欄を差し出す取引です。

共振の対称性はどこから来るのか

注目すべき性質が一つあります——共振曲線はf_rを中心に対称です。物理的には質量・ばね・ダンパの振動系、電気的にはRLC直列共振（BVD等価回路）、数学的にはローレンツ分布——三つの視点が同じ釣鐘型の対称曲線を描きます。この対称性が次の選択肢で決定的な役割を果たします。

三つの視点が一つに集まるのは偶然ではありません。圧電振動子を電気回路に置き換えると直列RLC枝一本と並列静電容量一つに還元されることは、1928年にすでに整理されています（Van Dyke）。機械的な質量はインダクタンスに、剛性はキャパシタンスに、摩擦損失は抵抗に対応します。そして減衰が大きくない二次系の応答は、共振点付近でf_rを軸に左右が同じ形になります。要するにトランスデューサは、f_rより1kHz低い成分と1kHz高い成分をほとんど区別できません。この「区別できなさ」が、次節の結論をあらかじめ決めています。

AMの二つの顔——DSBかSSBか

生き残ったAMにも二つの道があります。5kHzの音声を40kHzに載せると35kHz（下側波帯）と45kHz（上側波帯）が生じますが、両方を放つか（DSB）、片方だけにするか（SSB）の選択です。

• DSB（両側波帯）——二つの側波帯がどちらも搬送波と相互作用するので音が大きい。DSPの実装も容易です。その代わり帯域幅を広く使い、電力が非効率です。
• SSB（単側波帯）——帯域幅・電力効率はよいが音が弱く、ヒルベルト変換のような複雑なDSPフィルタが必要です。

ここで先ほどの対称性が介入します——40kHz中心の対称な共振特性のため、45kHzが再生されれば構造的に35kHzもほぼ同じ水準で再生されます。特定の片側の側波帯だけを出すのが物理的に難しいということであり、実務設計がおおむねDSBを起点にする理由です。

SSBには対称性のほかに、もう一つ押さえておくべき性質があります。空気が読むのはスペクトルではなく包絡線ですが、上側波帯だけを残した信号の包絡線は、元信号sとそのヒルベルト変換ŝが混ざった形になります。これを二乗すると1 + m·s + (m²/4)(s² + ŝ²)となり、後ろの括弧が面白いのです——信号が正弦波一トンならs² + ŝ²は恒等的に1（定数）なので、微分した瞬間に消えます。つまり単一トンにおけるSSBの原理的歪みはちょうど0です。

問題は実際の音楽・音声が単一トンではないことです。トンが二つ以上あればs² + ŝ²はもはや定数ではなく、二つのトンの差周波の近くに元信号になかった成分が残ります。帯域は半分に減ったのに、歪みは完全には消えないのです。この残りを反復計算で削っていく再帰型SSBや、二つの側波帯に異なる重みを与える加重DSBといった変形が提案された背景がこれです。

変調方式の判定表

ここまでの議論を一枚にまとめます。占有帯域はオーディオ上限をf_aとしたときの値であり、「原理的歪み」は部品品質と無関係に数式から出てくる分です。

方式	包絡線 E(t)	占有帯域	原理的歪み	演算負担	共振帯域との相性	判定
DSB-AM（無補正）	1 + m·s(t)	2 f_a	単一トンの2次高調波 = m（m=0.5なら50%）	掛け算1回	対称曲線と自然に合う	基準点
平方根AM（DSB）	√(1 + m·s(t))	2 f_a ~ 8 f_a（mに依存）	理論上は相殺、帯域切りの分だけ残存	平方根 + 帯域制限	mが大きいと帯域超過	実務標準
SSB	元信号 + ヒルベルト成分	f_a	単一トンは0、多トンで残存	ヒルベルト変換	対称共振が反対側を復活させる	部分採用
再帰SSB・加重DSB	反復補正された包絡線	f_a ~ 2 f_a	反復回数だけ減少	反復演算・遅延	良好	上級の選択
FM	定数	狭い	自己復調出力0（スロープ検波頼み）	低い	共振の傾きに全面依存	脱落
矩形波PWM駆動	デューティ比	基本波 + 奇数次高調波	スイッチング高調波（共振の外）	コンパレータ1個	共振が復元フィルタの役	電力段の正解

表の二行目が本シリーズの結論につながります。第7回で見た「復元音 ∝ 包絡線の二乗の二階微分」という関係式は、包絡線にあらかじめ平方根をかけておけば二乗と正確に相殺されるという処方をそのまま教えてくれます。ただし平方根演算は信号になかった高調波を作り、包絡線そのものの帯域を広げ、その広がった帯域が先に見たトランスデューサQの壁にぶつかります。どこまで平方根をかけ、どこで切るか——この天秤が第14回の主題です。

数値で見る歪み抑圧性能

表の「原理的歪み」を実際の数字に置き換えてみます。各方式の包絡線E(t)を直接作り、Berktayの式どおりE(t)²を二回微分したうえで、復元されたオーディオに元々なかった成分がどれだけ混ざるかを計算しました。条件は変調指数 m = 0.7、駆動電圧のピークがすべて同じになるよう正規化、試験信号は単一トン（1kHz）と2トン（1.0kHz + 1.3kHz）の二種類です。2トンを併せて見た理由は、前節で述べたとおり単一トンだけではSSBの弱点が現れないからです。

方式	単一トンの歪み	2トンの歪み	復元音の出力	包絡線の帯域	実装の難易度
DSB-AM（無補正）	57.4%	50.6%	0 dB（基準）	2 f_a	掛け算1回
平方根AM（帯域無制限）	0%	0%	−1.4 dB	3 f_a（−40dB）~ 5 f_a（−60dB）	平方根1回
平方根AM（3.2kHzに帯域制限）	8.0%	12.8%	−1.3 dB	約2.5 f_a	平方根 + ローパス
SSB（搬送波 + 上側波帯）	0%	0.80%	−2.0 dB	f_a	ヒルベルト変換
再帰SSB・加重DSB	反復回数だけ減少	反復回数だけ減少	SSBと同程度	f_a ~ 2 f_a	反復演算 + 遅延
矩形波PWM駆動	包絡線の歪みなし	スイッチング3次 −38dB	+4.2 dB	基本波 + 奇数次高調波	コンパレータ1個

表から読み取るべきは順位ではなく交換条件です。無補正DSBの57%という歪みは、第7回で見た関係式 m / √(1 + m²) にm = 0.7を入れた値と正確に一致し、平方根をかければこの歪みは数値上0に消えます。その代わり包絡線の帯域がf_aの三〜四倍に広がり（mが1に近ければ八倍まで）、その帯域を3.2kHzで強制的に切った瞬間に歪みが8~13%へ戻ってきます。平方根補正の効果は、トランスデューサが差し出す帯域幅の分だけしか実現しません。

SSBの列は帯域を半分にしながら歪みが1%未満で魅力的ですが、抑えたはずの反対側の側波帯が対称共振で復活すれば表の0.80%は守られません。最後の行の矩形波PWMは性格が違います——ここで生じるのは包絡線の歪みではなくスイッチング高調波であり、それは次の二節で見るとおり共振曲線が自ら濾し取ります。同じ供給電圧で基本波が4/π倍になるので超音波音圧が2.1dB上がり、復元音は音圧の二乗に比例するため+4.2dBになります。

PWM——電力の言語

残る問いは「このAM信号をいかに高効率で増幅するか」です。振幅を連続的に持ち上げるリニア増幅器（Class A/AB）は蛇口を半分開けておくやり方なので、余ったエネルギーを熱として捨てます（効率70%未満）。PWM＋スイッチング増幅器（Class D）は蛇口を完全に開けたり閉めたりするだけで、その「開いている時間の幅」で量を調節します——効率90%以上、損失は最小。数百個のトランスデューサを駆動しなければならない指向性スピーカーにおいて、効率は選択ではなく生存の問題です。

「効率70%未満」には計算根拠があります。プッシュプル型リニア増幅器（Class B）の理論最大効率は、出力振幅が供給電圧いっぱいに達したときのπ/4 ≈ 78.5%であり、実際にはバイアス電流と余裕電圧のためこれより低くなります。一方スイッチング増幅器の損失は、導通抵抗とスイッチング遷移区間でのみ生じます。

この差が指向性スピーカーでとりわけ大きく開く理由は、搬送波が常にオンだからです。一般のオーディオ増幅器では音楽の平均レベルがピークよりずっと低いのでリニア増幅器でも平均消費は低いのですが、指向性スピーカーは音が小さかろうが大きかろうが40kHz搬送波を常に最大出力近くで出し続けます。リニア増幅ならその常時負荷が丸ごと発熱になります。素子を数十・数百個一枚のパネルに貼り付けた構造では、この熱がそのままf_rの移動と寿命低下となって返ってきます。

なぜ矩形波で叩いてよいのか——共振がそのまま復元フィルタになる

リニア増幅を捨てたなら、トランスデューサに入るのは滑らかな正弦波ではなく角の立った矩形波です。オーディオ増幅器なら大事ですが、ここではむしろ有利です。理由は二つあります。

第一に、矩形波は基本波が大きいことです。振幅1の矩形波をフーリエ級数に展開すると基本波成分の振幅は4/π ≈ 1.27、つまり同じ振幅の正弦波より約2.1dB高いのです。同じ供給電圧でより強い超音波を得られるということであり、パラメトリックアレイは超音波音圧の二乗で音を作るため、この2.1dBは復元音では二倍近い利得になって返ってきます。

第二に、不要な高調波を共振が勝手に捨ててくれることです。矩形波の高調波は奇数次にしかなく、振幅は1/nで減ります。40kHzの矩形波なら3次は120kHzで基本波比−9.5dB、5次は200kHzで−14dBです。ところが先の表で見たとおり、Q=10のトランスデューサの−3dB帯域は40kHz ± 2kHzにすぎません。120kHzはその帯域からはるかに遠く、素子は事実上まったく反応しません。厄介者だった狭い帯域幅が、ここでは無料のローパスフィルタとして働きます。

まとめると矩形波駆動は「雑に叩く」やり方ではなく、素子の物理的性質をフィルタとして再利用する設計です。ただし代償もあります——共振の外へ出た高調波エネルギーは音にならず、素子内部で熱になるか配線で電磁ノイズになります。スイッチングの立ち上がりを緩やかにするゲート制御や配線シールドが実務で欠かせない理由です。

駆動パイプライン——三段で組み立てる

そこで実際の駆動チェーンはこう組み立てられます。① DSP段：オーディオを40kHzキャリアに合成してAM信号を設計し（空気が解読する波形の殻を作る）、② Modulator段：AMの振幅情報をPWMのデューティ比に置き換え、③ Power Stage：Hブリッジが高電圧をスイッチングして高エネルギーの超音波を放ちます。

三段はそれぞれ違う言語を使います。①は数列を、②は時間の長さを、③は電荷の量を扱います。境界ごとに失うものがあるので誤差予算を分けて配分しなければなりません——①で標本化率が足りなければ側波帯が折り返して入り込み、②でデューティ分解能が足りなければ量子化雑音が搬送波の隣に貼り付き、③でデッドタイムが長ければデューティが歪みます。第11回の標本化定理は①の問題であり、第14回で扱う変調指数は①と②にまたがっています。

よくある誤解三つ

• 「FMは振幅が一定だから指向性スピーカーに有利だ」——正反対です。振幅が一定とは包絡線に情報がないということであり、空気は包絡線しか読みません。増幅効率の利点なら、PWMがすでにもっと大きな幅で提供しています。
• 「SSBを使えば帯域が半分になるからトランスデューサの問題は解ける」——半分だけ正しい。占有帯域は減りますが対称共振が反対側の側波帯を復活させ、トンが複数あれば残った包絡線が元信号と異なるため新たな歪みが生まれます。
• 「Class Dは音質が悪いから高級機はリニア増幅を使う」——一般オーディオの通念をそのまま持ち込んだ誤解です。ここで最終的な音質を決めるのは増幅器の波形忠実度ではなく包絡線の正確さであり、矩形波の高調波はトランスデューサの共振が濾し取ります。

まとめ

空気は包絡線しか聞かないのでFMは原理上無音であり（聞こえるなら歪みと発熱の副作用）、情報はAMでエンコードします。共振の対称性のため実務はDSB中心であり、電力はPWMスイッチングで解決します。そしてその狭い共振帯域は厄介者であると同時に、矩形波の高調波を濾してくれる無料のフィルタでもあります。いよいよシリーズ最後のピースだけが残りました——平方根の事前補償をどこまでかけ、変調指数をどこに置くか。すなわちこのチェーン全体を最適化する信号処理の話で完結します。

シリーズ案内

「指向性スピーカーの科学」は以下の順で続きます。

1. 指向性スピーカーとは何か——音の懐中電灯
2. 聞こえない音に音を載せる——動作原理の第一歩
3. 指向性スピーカーの活用事例——展示・安全・リテール・オフィス
4. 超音波とは何か——定義・種類・伝播特性
5. なぜ超音波なのか——生成原理と応用地図
6. 空気がスピーカーになる魔法——PAA非線形音響
7. PAA理論の深化——Berktay・Westervelt・KZK
8. 音を狙う——フェーズドアレイとビームフォーミング
9. 圧電効果——電気が音になる瞬間
10. 超音波トランスデューサ設計——共振と配置
11. ナイキスト定理——デジタル音の出発点
12. 変調入門——AM・FM・PWM一覧比較
13. 指向性スピーカーの変調戦略——共振とPWM（今回）
14. 以降：信号処理最適化——帯域幅と変調指数（完結）

本シリーズは、超音波指向性音響技術を自ら研究・整理した自主講義資料をブログ形式に再構成したものです。図版は当該資料から抜粋しています。

参考資料

• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965)：本文の P_aud ∝ ∂²/∂t²[E(t)]² 関係式の原典。FM脱落判定の根拠
• H. O. Berktay, D. J. Leahy, "Farfield performance of parametric transmitters," JASA 55(3), 539 (1974)：包絡線近似が遠距離で有効な範囲と限界条件
• T. Kamakura et al., "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991)：搬送波の変調方式による音場・歪み特性の比較
• "Dynamic single sideband modulation for realizing parametric loudspeaker," AIP Conf. Proc. 1022, 613 (2008)：SSB系変調で帯域と歪みを併せて扱う手法
• Y. Wang et al., "SSB modulation of the ultrasonic carrier for a parametric loudspeaker," Int. Conf. Electronic Computer Technology, 669 (2009)：単側波帯変調の実装と残留歪み
• P. Ji, W.-S. Gan, E.-L. Tan, J. Yang, "Performance analysis on recursive single-sideband amplitude modulation for parametric loudspeakers," IEEE ICME, 748 (2010)：反復補正でSSBの残留歪みを減らす再帰型手法
• Y. Hatano, C. Shi, Y. Kajikawa, "Compensation for nonlinear distortion of the frequency modulation-based parametric array loudspeaker," IEEE/ACM TASLP 25(8), 1709 (2017)：FM駆動時にトランスデューサの非線形をモデル化して補償するアプローチ
• K. S. Van Dyke, "The piezo-electric resonator and its equivalent network," Proc. IRE 16(6), 742 (1928)：本文のBVD等価回路と共振曲線の対称性の原典
• A. R. Oliva, S. S. Ang, T. V. Vo, "A multi-loop voltage feedback filterless class-D switching audio amplifier using unipolar pulse-width-modulation," IEEE Trans. Consumer Electronics 50(1), 312 (2004)：PWMスイッチング増幅段の構成と損失要因
• US 5,889,870 — Acoustic heterodyne device and method：超音波搬送波で可聴音を得る方式の特許
• Class-D amplifier — Wikipedia：スイッチング増幅の動作と効率の概観