指向性スピーカーの科学 #14 — 信号処理の最適化：帯域幅と変調指数

シリーズの最終回です。部品はすべて組み上がりました——あとはこのシステムを商用製品の品質まで引き上げる信号処理の仕上げが残っています。キーワードは二つ、前処理（Pre-processing）と変調指数（Modulation Index）です。

搬送波は部品ではなくソフトウェアである

誤解しやすい点から正しておきます。指向性スピーカーの搬送波と変調された波は、物理部品がうなりを上げて作るものではなく、DSP（デジタル信号処理装置）やMCUの中のソフトウェアアルゴリズムが数学的に生成します。AM変調の実体は掛け算一行です——オーディオ信号 × 40kHz搬送波。その結果の包絡線（Envelope）にオーディオ情報が収まり、第11回で見た192kHzサンプリングの上でこれらの演算がすべて回ります。

この事実には実務的な含意があります。トランスデューサや増幅器を替えずとも、ファームウェアの更新だけで音質が変わるということです。第13回で見た変調方式の選択も、今回見る前処理フィルタと変調指数の管理も、すべてコードの中にあります。逆に言えば、ハードウェアが定めた限界をソフトウェアで越えることはできません。今回の半分は、その限界線がどこに引かれているかを数字で確かめる作業です。

段階別の信号処理——前処理が半分を決める

実際の製品の信号経路をたどってみると、品質を左右するのは変調より前の前処理です。

1. 平方根処理（Square Root）——第7回のBerktayの法則を覚えているでしょうか。空気は包絡線の二乗を音に戻します。ならばあらかじめ信号に平方根をかけておけば、空気の二乗と相殺されて原音が復元されます。空気という非線形復調器の歪みを数学で先回りして補償する、このシステムでもっとも優雅な一手です。
2. イコライザ（EQ）——低域を削る——第13回で見たトランスデューサ帯域幅（BW）の限界のため、搬送波から遠く離れた低音成分はどのみち十分に載らず、歪みだけを残します。再生できない低域をあらかじめ削れば、歪みとエネルギーの無駄を同時に減らせます。
3. DSP内部処理 → 出力——発振器（OSC）が40kHz搬送波を作り、変調器が前処理済みのオーディオと掛け合わせ、アンプが電圧を増幅してトランスデューサアレイが放射します。残りは空気がやってくれます。

ここで二番目の項目が奇妙に響くかもしれません。低音を救おうと努めるべきところで、むしろ削ると言うのですから。その理由を正面から見ていきます。

低域の壁——12dB/octを戻すのに必要な値

Berktayの関係式は、復元音が包絡線の二乗の二階微分だと述べます。微分一回は周波数に比例する重みを意味するので、二回微分すれば周波数の二乗が掛かります。振幅が周波数の二乗に比例するということは、デシベルに直せばオクターブあたり12dBの傾きです。つまりパラメトリックスピーカーは、生まれつき低音がオクターブごとに12dBずつ落ちる構造なのです。第1回の「音の懐中電灯」がとりわけ細く鋭い音色に聞こえる根本原因がここにあります。

ならばEQで低域を押し上げて平坦にすればよいのでは、と思えます。値を計算してみれば、なぜそれが不可能かがただちに現れます。5kHzを基準点とし、ある周波数を同じレベルに揃えるには何dB押し上げる必要があるかを求めると、こうなります。

目標周波数	基準（5kHz）から下がったオクターブ	必要なブースト	包絡線振幅の倍率
4,000Hz	0.32	+3.9 dB	1.6倍
2,000Hz	1.32	+15.9 dB	6.2倍
1,000Hz	2.32	+27.9 dB	25倍
500Hz	3.32	+39.9 dB	98倍
200Hz	4.64	+55.7 dB	611倍
100Hz	5.64	+67.7 dB	2,434倍

表の値は 12 × log₂(5000 ÷ f) という一つの式で計算し、最後の列はそのdBを電圧比に換算したものです。ここで決定的に効いてくるのが包絡線の振幅には上限があるという事実です。変調指数mは1を超えられないので、包絡線が持てる余裕はせいぜい数倍ですが、1kHzを平坦にするには25倍、100Hzなら2,434倍が要ります。100Hzを救おうとEQを押せば、他のすべての帯域がその下へ68dB押しやられる勘定です。

そこで実務の選択は「平坦にする」ではなく「どこで諦めるかを決める」になります。多くの場合200~300Hz以下はいっそ切り捨て、その上の一〜二オクターブだけを部分的に補正します。切らなければその成分は音にならないまま包絡線のヘッドルームだけを食い、結果として聞こえる帯域の音量を削ります。低域を削るEQが「低音を捨てる」措置ではなく「中高域の音量を取り戻す」措置である理由がこれです。低域の知覚を心理音響的に補強する研究や、サブアレイごとに等化して応答を整える研究が続くのも、この壁が物理的にそれだけ固いからです。

帯域を切り捨てる決断——なぜ音声帯域なのか

高域の側にも壁があります。第13回で見たとおり、トランスデューサの使える幅は BW = f_r / Q であり、両側波帯変調はオーディオ上限の二倍を食います。40kHz搬送波でオーディオ上限をどこに置くかによって、要求されるQはこう変わります。

オーディオ上限	占有スペクトル	必要な帯域幅	許容される最大Q	現実性
20kHz（フルオーディオ）	20~60kHz	40kHz	1.00	事実上不可能
16kHz	24~56kHz	32kHz	1.25	ほぼ不可能
8kHz（広帯域音声）	32~48kHz	16kHz	2.50	低Q素子なら可能
4kHz（標準音声）	36~44kHz	8kHz	5.00	余裕がある

第13回のQ表と併せて読むと絵が完成します。高感度を得ようとQを20~30まで上げた素子は帯域が1.3~2kHzしかなく、オーディオ上限が1kHzにも届きません。逆にオーディオ20kHzをすべて載せるにはQを1まで下げねばならず、そうすると音圧が崩れてパラメトリックアレイが成立しません。この二つの壁のあいだで実際に開いている扉が音声帯域なのです。

幸い音声は帯域を切ってもよく耐えます。音声明瞭度研究の古典は、明瞭度に寄与する情報が広い周波数範囲に分散しつつ中域に大きく偏っていることを示し、電話網が300~3,400Hzだけで百年近く会話を媒介してきたことがその実証です。指向性スピーカーが案内放送・展示解説・警告音の分野で先に地歩を築いたのは、マーケティングの結果ではなく物理が許した帯域がちょうど人の声の帯域だったからです。

変調指数 m——器をどこまで満たすか

最後のつまみは変調指数（Modulation Index, m）です。定義は単純で、オーディオ信号の振幅と搬送波の振幅の比です。直感的には、超音波という「器」にオーディオという「中身」をどれだけぎっしり詰めて送るかの尺度です。

• mが低いと（例：0.1）——超音波は強く出ていくのに、その中のオーディオの振れ幅がわずかなので、復調された音は小さく聞こえます。
• mが高いと（例：1.0）——搬送波の振幅を最大限に活かせるので、音が大きく明瞭になります。

ここから指向性スピーカーの音量の公式が出ます——体感音量 = 超音波の音圧（SPL） + 変調指数（m）。復調された可聴音の音圧は超音波音圧の二乗とmに比例するので、トランスデューサが130dBの超音波を放ってもmが0に近ければ何も聞こえません。出力を上げる前にまずmを満たすのが正しい順序です。

ところがmを大きくすると代償が伴います。その代償は歪みだけでなく帯域幅でもあります。平方根の前処理をかけた包絡線 √(1 + m·s) は元信号になかった高調波を作り出し、その高調波が何次まで有意に生き残るかがmによって変わるからです。オーディオ上限4kHz、高調波を−40dBまで有効とみて計算すると、こうなります。

変調指数 m	平方根包絡線の有効高調波	DSB占有帯域	許容最大Q	復元音の相対レベル	補正なしのTHD
0.3	2次	16kHz	2.50	−10.5 dB	28.7%
0.5	2次	16kHz	2.50	−6.0 dB	44.7%
0.7	3次	24kHz	1.67	−3.1 dB	57.3%
0.9	4次	32kHz	1.25	−0.9 dB	66.9%
1.0	8次	64kHz	0.62	0 dB（基準）	70.7%

この表を作るのに使った計算は三つです。有効高調波の次数は √(1 + m·cos θ) をフーリエ級数に展開し、基本波比−40dBより上に残る最後の次数を数えた値、占有帯域はその次数 × 4kHz × 2（両側波帯）、許容Qは 40kHz ÷ 占有帯域です。最後の列は第7回の関係式 m / √(1 + m²) です。

この表が今回もっとも重要です。m = 0.5から1.0へ上げれば音は6dB大きくなりますが、要求される帯域は16kHzから64kHzへ四倍になります。そしてその64kHzを賄うにはQが0.62以下でなければならず、そんなトランスデューサでは超音波の音圧が出せません。つまりmを限界まで満たす設計は存在し得ず、実務の着地点はおおむね m = 0.5~0.7 のあたりです。音を6dB諦める代わりに、帯域と低歪みを併せて買う取引です。

mの最適化——ゲイン、正規化、コンプレッサ

とはいえmを無闇に大きくすることもできません。m > 1になった瞬間、過変調（Over-modulation）で波形が潰れます。実務の目標は「ピークでちょうど m = 1.0」であり、梯子は三段です。

1. 入力ゲインの設定——プリアンプやDSPの入力段でオーディオの大きさを調節し、信号のピークが m = 1.0 に触れるよう基準を決めます。
2. 正規化（Normalization）——ゲイン固定だけでは静かな曲でmが下がり、うるさい曲で割れます。ファームウェアが入力信号の最大値をリアルタイムでデジタルフルスケールに近づけます。
3. コンプレッサ／リミッタ——瞬時のピークを押さえて過変調を防ぎつつ、平均のmは高く保ちます。放送オーディオのラウドネス管理と同じ原理です。

三番目がなぜそれほど重要かはクレストファクタ（ピークと平均の比）で説明できます。ピークを m = 1.0 に合わせると、平均の変調指数はクレストファクタの分だけ下へ落ち、復元音の平均レベルも同じだけ下がります。

クレストファクタ	典型的な素材	平均変調指数	平均の復元音レベル
18 dB	無圧縮のクラシック録音	0.126	−18.0 dB
12 dB	一般的な音楽トラック	0.251	−12.0 dB
9 dB	軽く整えたナレーション	0.355	−9.0 dB
6 dB	放送用に圧縮した音声	0.501	−6.0 dB
3 dB	強くリミッティングした案内放送	0.708	−3.0 dB

平均変調指数は10の（−クレストファクタ ÷ 20）乗として計算しました。表が語ることは明白です——同じハードウェアでクレストファクタを18dBから6dBへ縮めれば、体感音量が12dB上がります。増幅器を大きくせず、トランスデューサを増やさず、信号処理だけで得られる12dBです。指向性スピーカーでコンプレッサが「音質を損なう妥協」ではなく中核部品である理由がこれです。もちろん圧縮を掛けすぎれば音楽の表現力が失われるので、案内放送は強く・背景音楽は弱くという具合に用途で値を分けます。

遅延の予算——リアルタイムという条件

ここまでの処理はすべて入力が来た瞬間に終わらねばなりません。各段がどれだけ時間を使うか予算を組むと次のようになります。フィルタ遅延は線形位相FIRを基準に（タップ数 − 1）÷ 2 ÷ 標本化率で計算しました。

処理段	条件	遅延
入力AD変換	シグマデルタのデシメーションフィルタ	約 1.00 ms
低域補正EQ	線形位相FIR 512タップ @ 48kHz	5.31 ms
ブロック処理バッファ	256サンプル @ 192kHz	1.33 ms
ヒルベルト変換（SSB系）	257タップ @ 192kHz	0.67 ms
平方根後の帯域制限	129タップ @ 192kHz	0.33 ms
PWM変調・出力段	コンパレータ＋ゲートドライバ	0.05 ms
合計		8.70 ms

この8.7msをどう見るべきでしょうか。音速343m/sで計算すると、音が3m飛ぶのにかかる時間がちょうど8.7msです。10m離れた聴取者なら空気を通ってくるだけで29.2msかかります。つまり指向性スピーカーの信号処理遅延はスピーカーを3m後ろへ下げたのと同程度であり、たいていの設置環境では伝播遅延に埋もれます。

ただし二つの場合には予算を組み直す必要があります。一つは映像と併用する展示で、画面と音のずれは人が敏感に気づきます。もう一つは話す本人が自分の声を聞く拡声で、この場合は遅延が発話を妨げます。どちらの場合も、もっとも重い項目である低域補正EQを線形位相FIRから最小位相IIRに替えれば、5.31msの大半を取り戻せます。位相特性を差し出して遅延を買う取引です。

この技術にできないこと

シリーズを閉じる前に、ここまでの数字が描く限界線を一度にまとめておきます。

• 本格的な低音は出せません。12dB/octの傾きは変調方式や信号処理で消せる性質ではなく、Berktayの関係式そのものから出てきます。100Hzを平坦にするのに2,434倍の振幅が要るという計算が、その壁の高さです。
• フル帯域のオーディオは載りません。20kHzのオーディオを40kHz搬送波に載せるには Q ≤ 1 のトランスデューサが必要ですが、そんな素子ではパラメトリックアレイに必要な音圧が出ません。
• 歪みを0にはできません。平方根前処理は理論上は歪みを正確に相殺しますが、その効果はトランスデューサが差し出す帯域幅の分だけしか実現しません。第13回の計算で帯域を切った瞬間に歪みが8~13%へ戻ったのがその証拠です。
• 大きな音は高くつきます。復元音は超音波音圧の二乗に比例するので、可聴音を6dB上げるには超音波を3dB上げればよさそうに見えますが、実際には素子数と駆動電力がともに増え、その電力の大半は音にならず熱になります。

この一覧は技術を貶めるためのものではありません。むしろ逆に、どこで使えば勝てる技術かを正確に教えてくれます。音声帯域の情報を狭い角度で正確に届けること——それがこの技術が他のどのスピーカーよりも得意なことです。

シリーズを終えて——14回の旅

「指向性スピーカーの科学」はここで完結します。振り返れば一つの文でした——音を聞こえない超音波に載せ（変調・信号処理）、狭いビームに絞って撃てば（アレイ・ビームフォーミング）、空気が自ら音を復元する（PAA）。第1回の「音の懐中電灯」という比喩の裏に、これだけの物理・数学・工学が積み重なっています。

各回が答えた問いを一行ずつ辿るとこうなります。第1~3回は何であり何に使うのかを、第4~5回は搬送波に超音波を選んだ理由を、第6~7回は空気がどうやって復調器になるのかを（WesterveltとBerktay）、第8回はそのビームをどう狙うのかを、第9~10回は超音波を作る素子の物性と共振を、第11回はそれをデジタルで扱う標本化の規則を、第12~13回は情報を載せる文法と戦略を、そして今回の第14回はその全部を一本の信号チェーンとして調律する方法を扱いました。

この旅で繰り返し現れた構造が一つあります。ほとんどすべての利得が、別の何かを売って買ったものだということです。狭いビームは低い効率と引き換えに、高い音圧は狭い帯域と引き換えに、大きな音は広い占有帯域と引き換えに得られます。よい設計とは、これらの天秤のうちいまのこの用途では何を差し出してよいのかを知ることでした。シリーズを通して表を多く描いた理由がそれです——天秤の両側に実際の数字が書かれていて初めて、決定を下せるからです。

長い旅にお付き合いいただき、ありがとうございました。シリーズは完結ですが、関連技術の新しい話題や実験は、これからもこのブログで扱っていく予定です。

シリーズ全体の目次

1. 指向性スピーカーとは何か——音の懐中電灯
2. 聞こえない音に音を載せる——動作原理の第一歩
3. 指向性スピーカーの活用事例——展示・安全・リテール・オフィス
4. 超音波とは何か——定義・種類・伝播特性
5. なぜ超音波なのか——生成原理と応用地図
6. 空気がスピーカーになる魔法——PAA非線形音響
7. PAA理論の深化——Berktay・Westervelt・KZK
8. 音を狙う——フェーズドアレイとビームフォーミング
9. 圧電効果——電気が音になる瞬間
10. 超音波トランスデューサ設計——共振と配置
11. ナイキスト定理——デジタル音の出発点
12. 変調入門——AM・FM・PWM一覧比較
13. 指向性スピーカーの変調戦略——共振とPWM
14. 信号処理最適化——帯域幅と変調指数（今回、完結）

本シリーズは、超音波指向性音響技術を自ら研究・整理した自主講義資料をブログ形式に再構成したものです。図版は当該資料から抜粋しています。

参考資料

• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965)：復元音が包絡線の二乗の二階微分であるという関係式。本文の12dB/oct低域傾斜と平方根前処理の根拠
• H. O. Berktay, D. J. Leahy, "Farfield performance of parametric transmitters," JASA 55(3), 539 (1974)：包絡線近似が有効な遠距離条件とその限界
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：空気中パラメトリックスピーカーの最初の実現実験と低域不足の実測
• T. Kamakura et al., "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991)：搬送波の変調方式ごとの音場・歪み比較
• T. D. Kite, J. T. Post, M. F. Hamilton, "Parametric array in air: Distortion reduction by preprocessing," JASA 103(5), 2871 (1998)：前処理で歪みを減らすアプローチの原典。本文の平方根前処理の節の根拠
• P. Ji, W.-S. Gan, E.-L. Tan, J. Yang, "Performance analysis on recursive single-sideband amplitude modulation for parametric loudspeakers," IEEE ICME, 748 (2010)：前処理系変調の歪み・帯域性能の分析
• F. Karnapi et al., "Method to enhance the low-frequency perception from a parametric array loudspeaker," JASA 110(5), 2741 (2001)：物理的に再生が難しい低域を知覚の側から補強する試み
• C. Zhang et al., "Sub-array equalization technique for the parametric array loudspeaker to reduce nonlinear distortion," INTER-NOISE 263, 1497 (2021)：アレイを分けて等化し、応答と歪みを併せて扱う手法
• J. Yang et al., "Preprocessing Methods of Parametric Array Loudspeakers," in Parametric Array Loudspeakers, 109 (2025)：平方根・SSB・反復補正など前処理技法全般の整理
• N. R. French, J. C. Steinberg, "Factors Governing the Intelligibility of Speech Sounds," JASA 19(1), 90 (1947)：明瞭度への周波数帯域別の寄与を定量化した古典。本文の音声帯域の節の根拠
• H. E. Bass et al., "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995)：40kHz搬送波が距離とともに失うエネルギーの計算根拠
• US 5,889,870 — Acoustic heterodyne device and method：超音波搬送波にオーディオを載せて可聴音を得る方式の特許