지향성 스피커의 과학 #08 — 소리를 조준하다: 페이즈드 어레이와 빔포밍

6·7편에서 공기가 소리를 만들게 하는 법(PAA)을 배웠습니다. 남은 질문은 조준입니다 — 만들어진 빔을 어떻게 원하는 방향으로 꺾는가? 답은 스피커를 물리적으로 돌리는 것이 아닙니다. 시간을 다루는 것입니다. 이번 편의 주제는 페이즈드 어레이(Phased Array)와 빔포밍(Beamforming)입니다. 그리고 이번 편에서는 규칙을 말로만 설명하지 않고, 40kHz라는 실제 반송파에 대입해 소자 간격 4.3mm라는 숫자가 어디서 나오는지까지 계산해 보겠습니다.

물수제비의 직관 — 동시에 떨어뜨리면 직진, 순차로 떨어뜨리면 회전

잔잔한 호수에 돌 세 개를 동시에 떨어뜨리면, 세 파문이 합쳐진 파면은 정면으로 나아갑니다. 이번엔 왼쪽부터 순차적으로 떨어뜨려 보세요. 먼저 생긴 파문이 더 멀리 퍼진 상태에서 늦은 파문이 합류하므로, 합쳐진 파면은 비스듬히 기울어 나아갑니다. 돌을 던지는 위치는 그대로인데 파면의 방향이 바뀌었습니다 — 이것이 빔포밍의 전부입니다. 시간차가 방향을 만듭니다.

페이즈드 어레이 — 타이밍의 마법 3단계

1. 위상 지연(Phase Delay) — 일렬로 배열된 소자들에 순차적인 시간 지연을 걸어 발사합니다.
2. 간섭(Interference) — 각 소자의 파동이 겹치며, 특정 방향에서는 마루끼리 만나 강해지고(보강 간섭) 나머지 방향에서는 서로 지워집니다(상쇄 간섭 — 침묵 지대).
3. 전자식 조향(Electronic Steering) — 지연 패턴만 바꾸면 빔이 좌로, 우로, 중앙으로 움직입니다. 움직이는 부품 없이 소프트웨어만으로 조준 방향을 바꾸는 '가상 렌즈'입니다.

2편에서 예고했던 '위상 제어'의 실체가 이것입니다. 참고로 이 원리는 레이더와 5G 안테나에서도 똑같이 쓰입니다 — 파동이라면 소리든 전파든 같은 수학이 통합니다.

조향각과 위상차 — 식 하나로 끝난다

이웃한 두 소자에서 나온 파동이 각도 θ 방향에서 마루끼리 만나려면, 두 파동이 그 방향까지 가는 경로 길이의 차이가 정확히 보상되어야 합니다. 간격 d인 두 소자의 경로차는 d·sinθ이므로, 필요한 시간 지연과 위상차는 다음과 같습니다.

Δt = d·sinθ / c , Δφ = 2π·(d/λ)·sinθ [rad] = 360°·(d/λ)·sinθ

여기서 c는 음속(343m/s), λ는 파장입니다. 40kHz 반송파의 파장은 1편에서 본 대로 λ = 343 ÷ 40,000 = 8.575mm, 한 주기는 25μs입니다. 소자 간격을 반파장인 4.29mm로 두면 위 식은 Δφ = 180°·sinθ로 단순해집니다. 실제 값은 이렇습니다.

조향각 θ	이웃 소자 간 위상차	시간 지연	비고
0°(정면)	0°	0μs	모든 소자 동시 발사
5°	15.7°	1.09μs	—
10°	31.3°	2.17μs	—
15°	46.6°	3.24μs	—
30°	90.0°	6.25μs	한 주기의 1/4
45°	127.3°	8.84μs	—
60°	155.9°	10.83μs	—
90°(측면)	180.0°	12.50μs	반 주기 — 이론적 한계

표에서 중요한 것은 마지막 줄입니다. d = λ/2에서 90° 조향에 필요한 위상차가 정확히 180°, 즉 반 주기입니다. 위상은 360°를 넘으면 되돌아오므로 반파장 간격은 0°에서 90°까지 모든 방향을 위상 중복 없이 지정할 수 있는 최대 간격이라는 뜻이 됩니다. 뒤에 나오는 d ≤ λ/2 규칙의 정체가 바로 이것입니다.

실무적으로 눈여겨볼 값은 시간 지연의 크기입니다. 30° 조향에 필요한 지연이 6.25μs인데, 이를 1° 해상도로 제어하려면 대략 0.2μs 단위의 시간 분해능이 필요합니다. 디지털로 구현하면 수 MHz대의 타이밍 클럭이 요구된다는 뜻입니다. 조향을 아날로그 지연선이 아니라 디지털 신호처리로 하는 것이 표준이 된 이유가 여기 있습니다.

소자 간격의 규칙 — 공간 앨리어싱과 d ≤ λ/2

그런데 소자를 아무렇게나 늘어놓으면 안 됩니다. 간격이 너무 넓으면 공간 앨리어싱(Spatial Aliasing)이라는 착시가 생깁니다.

영상에서 빠르게 도는 차 바퀴가 거꾸로 도는 것처럼 보이는 이유는 카메라의 프레임(샘플링)이 바퀴 회전을 따라가지 못하기 때문입니다. 스피커 어레이도 똑같습니다. 소자 간격이 파장에 비해 너무 넓으면, 공간을 듬성듬성 샘플링한 셈이 되어 의도하지 않은 방향에 유령 빔이 생깁니다.

산맥의 능선을 깃발로 표시한다고 생각해 보세요. 봉우리 사이의 골짜기에도 깃발을 꽂아야 능선 모양이 복원됩니다. 파동도 마찬가지로, 소자 간격 d가 파장의 절반(λ/2) 이하여야 원하는 파면 하나만 깨끗하게 만들어집니다. 이 d ≤ λ/2가 어레이 설계의 제1 규칙이며 — 눈치채셨겠지만 디지털 샘플링의 나이퀴스트 정리와 같은 원리입니다(11편에서 정면으로 다룹니다).

숫자를 넣으면 이 규칙은 대단히 냉정한 제약이 됩니다. 40kHz에서 λ = 8.575mm이므로

d ≤ λ/2 = 8.575mm ÷ 2 = 4.29mm

입니다. 소자의 중심 간 거리가 4.3mm를 넘으면 안 된다는 뜻이고, 소자의 지름 자체가 4.3mm를 넘어서도 안 된다는 뜻이기도 합니다. 지름 100mm 원형 판을 이 간격으로 채우려면 한 변에 23개, 정사각 격자로 약 420개, 육각 조밀 배치로 약 490개의 소자가 필요합니다. 어레이 설계가 왜 그렇게 소자 수가 많아지는지가 이 한 줄에서 나옵니다.

Grating Lobe — 의도치 않은 가짜 소리 빔

규칙을 어기면(d > λ/2) 나타나는 유령 빔에는 이름도 있습니다 — 그레이팅 로브(Grating Lobe). 조준한 주 빔(Main Lobe) 옆에 대칭으로 생기는 가짜 빔으로, 손전등을 벽에 비췄는데 보이지 않는 거울들 때문에 엉뚱한 곳까지 밝아지는 상황과 같습니다. 지향성 스피커에서 그레이팅 로브는 '옆 사람에게도 들리는 소리'라는 치명적 결함이 되므로, 소자 간격 설계에서 반드시 억제해야 합니다.

그레이팅 로브가 나타나는 각도는 정확히 계산됩니다. 주 빔을 θ₀로 조향했을 때 유령 빔은 다음 조건을 만족하는 θ에 생깁니다.

sinθ = sinθ₀ ± λ/d (단, |sinθ| ≤ 1인 경우에만 실제로 나타남)

이 식에서 d가 작을수록 λ/d가 커져 해가 존재하지 않게 된다는 것을 읽을 수 있습니다. 그것이 d ≤ λ/2 규칙의 유도입니다. θ₀를 ±90°까지 쓰려면 λ/d ≥ 2가 필요하고, 이는 곧 d ≤ λ/2입니다. 반대로 조향 범위를 좁히면 간격을 넓혀도 됩니다. 조건은 d/λ ≤ 1/(1 + |sinθ₀|)이고, 40kHz에서의 결과는 다음과 같습니다.

소자 간격 d	d/λ	그레이팅 로브 없는 최대 조향각	설계 성격
4.29mm	0.50	±90°	완전 자유 조향
5.14mm	0.60	±41.8°	실내 넓은 조향
6.00mm	0.70	±25.4°	좌석 몇 개 범위
6.86mm	0.80	±14.5°	미세 보정 수준
8.58mm	1.00	0°(조향 불가)	고정 빔 전용

표의 마지막 줄이 특히 중요합니다. 간격이 한 파장이 되면 정면으로 쏘는 것조차 그레이팅 로브의 경계에 걸립니다. 조향을 전혀 하지 않고 정면 고정으로만 쓰겠다면 d < λ까지는 버틸 수 있지만, 그 순간 이 어레이는 '페이즈드 어레이'가 아니라 그냥 여러 개를 붙여 놓은 스피커가 됩니다.

소자 수가 정하는 것 — 빔폭과 조향 손실

간격이 유령 빔을 결정한다면, 소자 수는 빔의 굵기를 결정합니다. 균일하게 구동되는 길이 L의 선형 어레이가 만드는 반치폭(−3dB 빔폭)은 다음 근사식을 따릅니다.

빔폭 ≈ 0.886 × λ / L [rad] ≈ 50.8° × λ / L

d = λ/2로 채운 어레이는 L = N·λ/2이므로 빔폭은 λ가 소거되어 약 101.6° ÷ N이 됩니다. 소자 수만으로 빔폭이 정해진다는 뜻입니다.

소자 수 N	어레이 길이(4.29mm 간격)	반송파 빔폭	3m 거리 스폿 지름
8	34.3mm	12.7°	—
16	68.6mm	6.35°	33.3cm
32	137.2mm	3.17°	16.6cm
64	274.4mm	1.59°	8.3cm
128	548.8mm	0.79°	—

3편에서 '5° 빔은 3m에서 지름 0.26m'라고 했던 사운드존 계산과 이어집니다. 그 정도 빔을 얻으려면 반파장 간격 기준으로 한 축에 20개 남짓의 소자가 필요하고, 어레이의 물리적 길이가 8~9cm는 되어야 한다는 뜻입니다. 소자를 늘리는 것 말고 빔을 좁히는 방법은 없습니다 — 구경이 곧 분해능입니다.

여기에 조향의 대가가 따라붙습니다. 빔을 θ만큼 꺾으면 그 방향에서 본 어레이의 유효 구경이 cosθ배로 줄어들기 때문에 빔폭이 1/cosθ배로 넓어집니다. N = 32(정면 3.17°) 기준으로 15° 조향에서 3.28°, 30°에서 3.66°, 45°에서 4.49°, 60°에서 6.35°가 됩니다. 60°까지 꺾으면 빔이 정면 대비 두 배로 뚱뚱해집니다. 조향 가능 범위를 ±30~40°로 잡는 설계가 많은 이유가 이것입니다.

사이드로브 — 균일 구동의 대가

규칙을 다 지켜 그레이팅 로브를 없애도, 주 빔 옆에는 항상 작은 봉우리들이 남습니다. 이것이 사이드로브(side lobe)입니다. 그레이팅 로브가 규칙 위반의 결과라면 사이드로브는 유한한 구경을 가진 모든 어레이의 숙명입니다. 어레이를 갑자기 끊어낸 사각형 창(모든 소자를 같은 세기로 구동)의 대가로, 첫 사이드로브는 주 빔보다 약 13dB 낮은 수준에서 멈춥니다. 소자를 아무리 늘려도 이 13dB는 개선되지 않습니다.

해법은 소자 수가 아니라 진폭 셰이딩(amplitude shading)입니다. 가장자리 소자를 약하게 구동해 구경의 경계를 부드럽게 만들면 사이드로브가 크게 내려갑니다. 신호처리에서 쓰는 창 함수를 공간에 그대로 적용하는 것으로, 대표적인 값은 다음과 같습니다.

구동 분포(창 함수)	첫 사이드로브	주 빔 폭 배율	성격
균일(사각창)	−13.3dB	1.00	최대 출력·최소 빔폭
Hann	−31.5dB	1.44	균형형
Hamming	−42.7dB	1.47	누설 억제 우수
Blackman	−58.1dB	1.68	극단적 억제·빔 손실 큼

표가 말하는 것은 명확한 교환입니다. 사이드로브를 −13dB에서 −43dB로 30dB 내리는 대가로 빔이 1.5배 뚱뚱해집니다. 그리고 가장자리 소자를 죽였으니 총 출력도 떨어집니다. 지향성 스피커에서는 여기에 한 가지가 더 걸립니다 — 7편에서 본 대로 가청음은 반송파 음압의 제곱에 비례하므로, 반송파에서 −13dB인 사이드로브는 가청음에서 대략 −26dB가 됩니다. 비선형 변환이 지향성을 한 번 더 날카롭게 만들어 주는, 이 기술의 몇 안 되는 공짜 선물입니다.

배열의 기하학 — 선형, 사각, 육각

같은 개수의 소자라도 배치에 따라 빔 품질이 달라집니다. 선형(Linear) 배열은 한 축으로만 좁힐 수 있어 빔이 부채꼴로 퍼지고, 사각(Rectangular) 격자는 두 축을 좁히지만 행·열의 규칙성 때문에 부엽(side lobe)이 남습니다. 육각(Hexagonal) 배치는 소자를 가장 조밀하게 채워 같은 면적에서 가장 깨끗한 레이저형 빔을 만듭니다. 벌집이 최소 재료로 최대 공간을 채우는 것과 같은 기하학입니다.

육각 배치의 이점은 두 가지로 정량화됩니다. 첫째, 원을 평면에 채우는 충전율이 정사각 격자의 π/4 ≈ 78.5%에서 육각 배치의 π/(2√3) ≈ 90.7%로 올라갑니다. 같은 면적에 약 1.15배의 소자가 들어가므로 출력이 그만큼 늘어납니다. 둘째, 그레이팅 로브가 나타나기 시작하는 간격 자체가 육각 배치에서 더 넉넉합니다. 유령 빔은 배열이 만드는 격자의 역격자(reciprocal lattice) 위치에 생기는데, 삼각(육각) 격자의 역격자는 정사각 격자보다 2/√3 ≈ 1.155배 멀리 있습니다. 같은 논리로 계산하면 완전 자유 조향(±90°)이 가능한 최대 간격이 정사각 격자의 0.5λ = 4.29mm에서 육각 배치의 0.577λ = 4.95mm로 늘어납니다. 소자를 4.3mm까지 줄이기 어려운 40kHz 대역에서 이 0.7mm의 여유는 결코 작지 않습니다. 덧붙여 정사각 격자는 유령 빔이 행·열 두 방향에 몰리는 반면 육각 배치는 여섯 방위로 분산되어, 특정 방향에 강한 누설이 생길 확률도 낮습니다.

설계자의 딜레마 — 4.3mm를 지킬 수 없을 때

이제 현실입니다. 40kHz에서 공진하는 압전 소자는 그 공진 조건 때문에 물리적 치수가 정해집니다(9·10편의 주제입니다). 널리 쓰이는 형식의 40kHz 초음파 소자는 케이스 지름이 10mm 안팎이라 4.29mm 간격은 물리적으로 불가능합니다. 그러면 어떻게 될까요.

d = 10mm를 앞의 식에 넣으면 λ/d = 0.857이므로, 정면 조향에서도 sinθ = ±0.857, 즉 ±59.0°에 그레이팅 로브가 생깁니다. 빔을 10° 꺾으면 유령 빔은 −43.1°로, 20° 꺾으면 −31.0°로 성큼성큼 다가옵니다. 조향할수록 유령이 주 빔 쪽으로 다가온다는 뜻입니다.

그런데 실제 제품이 그럭저럭 동작하는 이유가 있습니다. 소자 하나가 이미 지향성을 갖기 때문입니다. 지름 10mm 원형 진동면의 지향 특성을 계산하면 −3dB 빔폭이 52.4°이고, 59° 방향에서는 이미 −14.8dB가 떨어져 있습니다. 어레이 인자가 만든 유령 빔을 소자 인자가 15dB 눌러 주는 것입니다. 게다가 가청음은 반송파의 제곱이므로 여기서 −29.6dB가 되어 실질적으로 들리지 않는 수준까지 내려갑니다. 규칙 위반을 소자의 물리적 크기가 부분적으로 구제해 주는 구조입니다.

물론 이것은 정면 근처를 쓸 때의 이야기이고, 조향을 크게 하면 유령 빔이 소자 지향성의 중앙 쪽으로 들어와 억제가 급격히 약해집니다. 넓은 각도의 전자식 조향을 진지하게 하려면 결국 소자를 작게 만드는 것 외에 길이 없습니다. 반도체 공정으로 진동막을 직접 만드는 압전 미세가공 초음파 트랜스듀서(PMUT) 배열이 지향성 오디오 연구에서 반복적으로 등장하는 이유가 여기 있습니다 — 소자를 수백 마이크로미터 단위로 줄이면 4.3mm 규칙이 비로소 여유 있게 지켜집니다.

한계와 흔한 오해

• '빔포밍하면 소리가 커진다'는 오해 — 빔포밍은 에너지를 만드는 기술이 아니라 모으는 기술입니다. 총 방사 출력은 소자 수에 비례할 뿐이고, 축상 음압이 높아지는 것은 옆으로 갈 에너지를 앞으로 돌린 결과입니다.
• '조향 범위는 소프트웨어 문제'라는 오해 — 조향 각도의 상한은 코드가 아니라 소자 간격이 정합니다. d가 정해지는 순간 최대 조향각은 이미 결정되어 있습니다.
• 근거리에서는 빔폭 공식이 통하지 않는다 — 위 빔폭 근사식은 모두 원거리(프라운호퍼 영역) 기준입니다. 7편에서 계산한 레일리 거리(지름 100mm·40kHz에서 약 0.92m) 안쪽에서는 빔이 오히려 구경 크기 그대로 진행하며, 조향도 의도대로 되지 않습니다.
• 반송파를 조향해도 가청음의 지향성은 그대로 따라오지 않는다 — 가청음은 빔을 따라 수 미터에 걸쳐 분포한 가상 음원에서 만들어집니다. 반송파 빔을 꺾으면 그 가상 음원 기둥 전체가 기울어야 하므로, 조향각이 커질수록 실제 가청음의 방향과 반송파 조준 방향 사이에 오차가 생깁니다.
• 소자 개체차가 그대로 사이드로브가 된다 — 셰이딩으로 −43dB를 설계해도, 소자 간 감도·위상 편차가 크면 실측 사이드로브는 그 수준까지 내려가지 않습니다. 대량의 소자를 쓰는 설계에서는 소자 선별과 개별 보정이 성능의 실질적 상한을 정합니다.

정리

빔포밍은 시간차(위상)로 파면의 방향을 만드는 기술이고, 그 품질은 d ≤ λ/2 간격 규칙과 배열 기하가 결정합니다. 이번 편에서 얻은 숫자로 다시 쓰면 — 40kHz에서 간격은 4.29mm 이하, 30° 조향에는 이웃 소자 간 6.25μs의 지연, 3° 빔에는 32개의 소자와 137mm의 구경, 균일 구동의 사이드로브는 −13dB, 10mm 소자를 쓰면 ±59°에 유령 빔 — 이 다섯 개가 어레이 설계의 좌표입니다. 다음 편에서는 시선을 소자 하나로 좁힙니다 — 전기를 소리로 바꾸는 심장, 압전 효과입니다.

시리즈 안내

「지향성 스피커의 과학」은 아래 순서로 이어집니다.

1. 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
2. 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
3. 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
4. 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
5. 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
6. 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향
7. PAA 이론 심화 — Berktay·Westervelt·KZK
8. 소리를 조준하다 — 페이즈드 어레이와 빔포밍 (이번 편)
9. 이후: 압전 효과, 트랜스듀서 설계, 나이퀴스트, 변조, 신호처리

이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.

참고 자료

• P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963) : 초음파 빔의 비선형 상호작용이 차주파수 음을 만든다는 원전 — 조향 대상이 되는 빔의 정체
• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965) : 가청음이 반송파 음압의 제곱에 비례한다는 관계 — 사이드로브가 가청음에서 두 배로 억제되는 근거
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983) : 다수의 초음파 소자를 평면에 배열한 최초의 공기 중 파라메트릭 스피커 구현
• K. Aoki, T. Kamakura & Y. Kumamoto, "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. (Part III) 74(9), 76 (1991) : 어레이형 파라메트릭 스피커의 음장·지향 특성 실측
• F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform," Proc. IEEE 66(1), 51 (1978) : 본문 사이드로브 표(−13.3 / −31.5 / −42.7 / −58.1dB)와 주 빔 폭 배율의 출처 — 창 함수를 공간 셰이딩에 그대로 적용
• W. Zhuang et al., "A steerable non-paraxial Gaussian beam expansion for a steerable parametric array loudspeaker," JASA 153(1), 124 (2023) : 조향된 파라메트릭 어레이의 음장 모델 — 조향각이 커질 때 가청음 빔이 반송파 조준과 어긋나는 문제
• S. Nakagawa et al., "Beam Steering of Portable Parametric Array Loudspeaker," APSIPA ASC 2019, 1824 : 소형 파라메트릭 어레이의 전자식 조향 구현과 측정
• G. Olszewski et al., "Steerable highly directional audio beam loudspeaker," Interspeech 2005, 137 : 초음파 어레이 조향을 음성 재생에 적용한 초기 사례
• J. Li et al., "Piezoelectric micromachined ultrasonic transducer array for micro audio directional speaker," IEEE ICMA 2013, 450 : 소자를 마이크로미터 단위로 줄여 반파장 간격 제약을 해소하는 PMUT 배열 접근
• H. E. Bass, L. C. Sutherland & A. J. Zuckerwar, "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995) : 40kHz 반송파의 대기 흡수 — 조향된 빔이 실제로 도달하는 거리의 상한
• Phased array — Wikipedia : 위상 제어 조향과 그레이팅 로브 조건 sinθ = sinθ₀ ± λ/d 의 개관