11편에서 40kHz 반송파를 디지털로 만들 준비를 마쳤습니다. 이제 시리즈 초반부터 미뤄둔 질문의 정면을 마주할 차례입니다 — 소리를 반송파에 '싣는다'는 것은 정확히 무엇인가? 이번 편은 변조(Modulation)의 기초 문법, AM·FM·PWM 세 방식을 비교합니다.
파동의 세 가지 손잡이
파동 하나는 세 가지 속성으로 결정됩니다 — 진폭(Amplitude, 소리의 크기), 주파수(Frequency, 소리의 높낮이), 그리고 파장(Wavelength). 변조란 이 중 하나의 손잡이를 정보에 따라 흔드는 일입니다. 어떤 손잡이를 잡느냐가 변조 방식의 이름이 됩니다.
- AM(Amplitude Modulation) — 반송파의 진폭을 신호에 따라 바꿉니다. 파형의 '껍데기(포락선)'에 정보가 담깁니다.
- FM(Frequency Modulation) — 진폭은 일정하게 두고 주파수를 바꿉니다. 파형이 빽빽해졌다 성글어졌다 하며 정보를 담습니다.
- PWM(Pulse Width Modulation) — 아예 다른 접근입니다. 전압을 켜고(Max) 끄는(Zero) 펄스의 폭으로 정보를 표현합니다. 0과 1의 디지털 세계와 가장 친한 방식입니다.
변조라는 개념 자체는 1920년대 무선 통신에서 이론적으로 정리됐습니다. Carson이 1922년에 발표한 「Notes on the Theory of Modulation」은 반송파에 정보를 실을 때 어떤 주파수 성분이, 얼마나 넓은 대역에 걸쳐 생기는가를 처음으로 명확하게 정식화한 논문입니다. 100년이 지난 지금도 FM 대역폭 추정에 쓰는 'Carson의 법칙'이 여기서 나왔습니다. 지향성 스피커는 전파 대신 초음파를 반송파로 쓸 뿐, 이 문법을 그대로 물려받습니다.
세 방식을 비교하기 전에 한 가지 구분을 먼저 세워두는 편이 좋습니다. AM과 FM은 '정보를 어떤 물리량에 새기느냐'를 정하는 규칙입니다. 반면 PWM은 '그 파형을 어떻게 힘 있게 만들어 내보내느냐'에 가깝습니다. 셋을 한 줄에 세워 놓으면 대등한 경쟁자처럼 보이지만, 실제 설계에서는 층이 다릅니다. 이 글의 결론도 결국 그 지점으로 수렴합니다.
AM — 포락선이라는 그릇
AM의 수식과 측파대 구조는 2편에서 이미 세워두었습니다. 반송파 진폭을 신호에 비례해 위아래로 흔들면 반송파 주파수 양옆에 측파대(Sideband)가 생기고, 40kHz 반송파에 20kHz까지의 오디오를 실으면 스펙트럼은 20~60kHz를 점유한다는 이야기였습니다. 여기서는 그다음 질문으로 갑니다 — 그 대역에 실린 전력은 어떻게 나뉘는가?
보내는 전력의 배분을 따져보면 AM의 성격이 드러납니다. 정현파 한 톤을 변조 지수 m으로 실었을 때, 전체 평균 전력 중 측파대가 차지하는 비율은 m² / (2 + m²)입니다. 반송파 성분 자체는 정보를 하나도 담고 있지 않은데도 남은 전력을 전부 가져갑니다. 계산해 보면 이렇습니다.
| 변조 지수 m | 반송파 전력 비율 | 측파대 전력 합 | 한쪽 측파대 |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 99.50% | 0.50% | 0.25% |
| 0.3 | 95.69% | 4.31% | 2.15% |
| 0.5 | 88.89% | 11.11% | 5.56% |
| 0.7 | 80.32% | 19.68% | 9.84% |
| 1.0 | 66.67% | 33.33% | 16.67% |
표의 값은 m² / (2 + m²) 한 식에서 바로 나옵니다. m = 1.0, 즉 과변조 직전까지 꽉 채워도 정보가 실린 몫은 전체의 3분의 1이고, m = 0.3처럼 얌전히 쓰면 4%에 그칩니다. 일반 라디오 방송이라면 '전력 낭비'라는 비판으로 끝날 이야기입니다. 그런데 지향성 스피커에서는 판단이 뒤집힙니다. 뒤에서 보겠지만 공기가 소리를 복원하려면 반송파가 반드시 함께 있어야 하기 때문입니다. 낭비처럼 보이는 반송파 전력이 사실은 복조기를 돌리는 연료입니다.
AM의 또 다른 미덕은 구현이 단순하다는 점입니다. 정보를 싣는 연산이 곱셈 한 번이고, 받는 쪽은 포락선만 따라가면 됩니다. 라디오 시대에 다이오드 하나와 축전기 하나로 만든 '포락선 검파기'가 통했던 이유이며, 100년 뒤 공기가 그 역할을 대신할 수 있는 이유이기도 합니다.
FM — 잡음에 강한 대신 대역을 먹는다
FM은 진폭을 건드리지 않습니다. 신호가 커지면 순간 주파수가 위로, 작아지면 아래로 움직일 뿐 파형의 키는 처음부터 끝까지 일정합니다. 이 성질에서 FM의 유명한 장점이 나옵니다 — 자연계의 잡음은 대부분 진폭에 실리므로, 수신기가 진폭 정보를 통째로 버려도(리미터) 정보는 멀쩡히 남습니다. Armstrong이 1936년 논문에서 실증한 것이 바로 이 잡음 억제 효과이고, 이후 음악 방송이 FM으로 옮겨간 계기가 됐습니다.
대가는 대역폭입니다. Carson의 법칙은 FM 신호가 실질적으로 차지하는 대역을 BW ≈ 2 × (Δf + f_m)로 봅니다. Δf는 주파수 편이(신호가 최대일 때 반송파가 얼마나 밀려나는가), f_m은 오디오 최고 주파수입니다. 편이비 β = Δf / f_m 을 바꿔가며 계산하면 다음과 같습니다.
| 변조 방식 | 조건 | 점유 대역폭 | 40kHz 반송파 대비 |
|---|---|---|---|
| AM · SSB | 오디오 8kHz | 8kHz | 0.20배 |
| AM · SSB | 오디오 20kHz | 20kHz | 0.50배 |
| AM · DSB | 오디오 8kHz | 16kHz (32~48kHz) | 0.40배 |
| AM · DSB | 오디오 20kHz | 40kHz (20~60kHz) | 1.00배 |
| FM (β = 1) | 오디오 8kHz, Δf 8kHz | 32kHz | 0.80배 |
| FM (β = 1) | 오디오 20kHz, Δf 20kHz | 80kHz | 2.00배 |
| FM (β = 5) | 오디오 20kHz, Δf 100kHz | 240kHz | 6.00배 |
표의 값은 AM은 DSB가 2·f_m, SSB가 f_m, FM은 Carson의 법칙 2(Δf + f_m)을 그대로 대입한 것입니다. FM의 매력인 잡음 내성은 β를 키울수록 좋아지는데, β = 5짜리 '고충실도 FM'을 40kHz 반송파에 얹으면 대역이 240kHz, 반송파의 여섯 배가 됩니다. 반송파보다 넓은 대역을 요구하는 변조는 물리적으로 성립하지 않습니다. 스펙트럼이 0Hz 아래로 접혀 들어가기 때문입니다. FM이 방송에서 88~108MHz라는 높은 반송파를 쓰는 것은 우연이 아니라 대역을 감당할 수 있는 곳으로 올라간 결과입니다.
이 표에서 지향성 스피커 설계자가 얻는 첫 번째 실무 감각이 나옵니다. 40kHz라는 반송파 예산 안에서 쓸 수 있는 선택지는 사실상 AM 계열, 그중에서도 오디오 대역을 제한한 형태뿐입니다. 왜 상용 지향성 스피커가 초고음을 포기하고 음성 대역에 집중하는지는 14편에서 정면으로 다룹니다.
PWM — 정보의 언어가 아니라 전력의 언어
PWM은 앞의 둘과 결이 다릅니다. 출력은 오직 두 값, 완전히 켜짐과 완전히 꺼짐뿐이고 정보는 한 주기 안에서 켜져 있는 시간의 비율(듀티 사이클)에 담깁니다. 핵심은 그다음입니다 — 이 사각파를 저역 통과 필터에 통과시키면 남는 것은 듀티 사이클에 비례하는 평균값입니다. 듀티 50%면 전원 전압의 절반, 75%면 4분의 3. 즉 PWM은 스위치만으로 아날로그 진폭을 흉내 내는 방법입니다.
이 관점에서 보면 PWM은 AM·FM과 같은 층의 경쟁자가 아닙니다. AM 신호의 순간 진폭을 듀티 사이클로 옮겨 적으면 그것이 곧 PWM 신호이고, 필터(또는 트랜스듀서의 공진 자체)를 지나면 원래의 AM 파형이 되살아납니다. 정보는 여전히 AM이 담고, PWM은 그것을 전달하는 운반 수단입니다.
그럼에도 PWM을 굳이 쓰는 이유는 하나, 효율입니다. 증폭 소자에서 열이 나는 근본 원인은 '소자 양단에 전압이 걸린 상태에서 동시에 전류가 흐르는 것'입니다. 선형 증폭기는 이 상태를 계속 유지합니다. 스위칭 증폭기는 완전히 켜졌을 때(전압 거의 0) 또는 완전히 꺼졌을 때(전류 0)만 머무르므로 원리적으로 손실이 작습니다. 이론 최대 효율을 정리하면 이렇습니다.
| 증폭 방식 | 이론 최대 효율 | 근거 | 실사용 구간 효율 |
|---|---|---|---|
| Class A (직렬 급전) | 25% | 최대 부하 전력 ÷ 정전류 소비 전력 | 10% 이하 (신호가 작을수록 나빠짐) |
| Class A (트랜스 결합) | 50% | 같은 계산, 직류 손실 제거 | 20% 안팎 |
| Class B/AB (푸시풀) | 78.5% | π/4 | 진폭이 최대의 절반이면 39% |
| Class D (스위칭) | 95% 이상 | 도통 손실만 볼 때 R/(R + 2·R_ds) | 부하 8Ω·R_ds 0.1Ω 이면 97.6% |
Class B의 78.5%는 정현파 반주기를 적분해 π/4를 얻는 고전적 결과이고, 실제로는 신호가 최대 진폭의 절반일 때 효율이 절반으로 떨어집니다(표의 39%). 음악처럼 평균 레벨이 피크보다 한참 낮은 신호에서는 선형 증폭기의 실효 효율이 더 내려갑니다. 반면 Class D의 손실은 주로 스위치가 켜져 있을 때의 저항에서 나오므로, 도통 저항 0.1Ω·부하 8Ω 조건에서 8 / (8 + 0.2) = 97.6%가 됩니다. 실제로는 스위칭 손실과 데드타임이 더해져 90%대 초중반이 현실적인 값입니다.
PWM에도 대가는 있습니다. 사각파는 스위칭 주파수의 정수배마다 강한 성분을 가진 빗살 모양 스펙트럼을 만들고, 이 성분들은 원하지 않는 대역까지 에너지를 뿌립니다. 또한 듀티를 몇 단계로 쪼갤 수 있느냐가 곧 해상도라, 11편의 나이퀴스트 논의가 여기서도 되풀이됩니다. 60kHz 상측파대까지 재현하려면 스위칭 주파수는 최소 120kHz, 실무적으로는 300~600kHz가 필요하고, 여기에 10비트 듀티 분해능(양자화 SNR 약 62dB)을 얹으려면 400kHz × 1024 ≈ 410MHz의 타이머 클럭이 있어야 합니다. 값싼 마이크로컨트롤러로는 감당하기 어려운 숫자이며, 이것이 지향성 스피커 구동단이 전용 로직이나 고속 타이머를 요구하는 이유입니다.
AM vs FM — 라디오가 가르쳐주는 트레이드오프
두 방식의 성격 차이는 라디오 방송에서 이미 검증됐습니다.
- FM — 고충실도, 짧은 도달거리 : 잡음(대부분 진폭에 실림)에 강해 음질이 좋습니다. 음악 방송이 FM인 이유입니다.
- AM — 원거리, 낮은 품질 : 음질은 떨어지지만 멀리 갑니다. 재난 경보와 뉴스가 AM을 쓰는 이유입니다.
다만 이 대비를 '변조 방식의 우열'로 읽으면 오해입니다. FM 방송이 멀리 못 가는 이유는 변조 때문이 아니라 FM 방송이 쓰는 반송파 주파수가 높아 직진성이 강하고 지평선 너머로 회절하지 않기 때문입니다. AM 방송이 멀리 가는 것도 변조의 공이 아니라 중파가 전리층에 반사되기 때문입니다. 즉 라디오의 경험칙은 '변조 방식 + 반송파 대역'이 묶여서 만든 결과입니다. 지향성 스피커처럼 반송파가 40kHz로 고정된 무대에서는 이 경험칙을 그대로 옮겨 쓸 수 없고, 처음부터 다시 따져야 합니다.
세 방식 한눈 비교
지금까지의 내용을 한 장으로 정리하면 다음과 같습니다. 이 표가 이번 편의 뼈대입니다.
| 항목 | AM | FM | PWM |
|---|---|---|---|
| 정보를 싣는 손잡이 | 진폭(포락선) | 순간 주파수 | 펄스 폭(듀티) |
| 포락선의 상태 | 신호에 따라 변함 | 항상 일정 | 필터 후 평균이 신호를 따름 |
| 점유 대역 (오디오 20kHz) | 40kHz(DSB) / 20kHz(SSB) | 80~240kHz | 스위칭 주파수의 정수배마다 빗살 |
| 잡음(진폭 교란) 내성 | 약함 | 강함 | 중간 (디지털 판정이라 강함) |
| 어울리는 증폭 방식 | 선형(Class A/AB) | 선형 또는 스위칭 | 스위칭(Class D) |
| 증폭 효율 | 25~78.5% 이론 상한 | 78.5% 이론 상한 | 90% 이상 |
| 구현 난이도 | 낮음(곱셈 한 번) | 중간(위상 적분) | 중간(고속 타이머 필요) |
| 공기가 복조 가능한가 | 가능 | 불가능 | 운반 수단이라 해당 없음 |
| 지향성 스피커에서의 역할 | 정보 인코딩 | 부적합 | 전력 전달 |
지향성 스피커의 특수한 조건 — 수신기가 '공기'다
라디오에는 전자 회로 수신기가 있어 어떤 변조든 복조할 수 있습니다. 하지만 지향성 스피커의 수신기는 공기입니다. 그리고 7편에서 본 Berktay의 법칙이 말하듯, 공기는 오직 포락선(진폭의 껍데기)의 제곱을 두 번 미분한 것만 소리로 되돌립니다. 즉 공기는 진폭에 실린 정보만 '해독'할 수 있는, 편식하는 수신기입니다.
이 한 줄이 세 후보의 운명을 가릅니다.
- FM은 원리적으로 탈락입니다. FM 신호의 포락선은 상수입니다. 상수를 제곱해도 상수이고, 상수를 두 번 미분하면 정확히 0입니다. 아무리 강한 FM 초음파를 쏘아도 공기가 만들어 내는 가청음은 이론상 없습니다. 잡음 내성이라는 FM의 유일한 강점도 여기서는 무의미합니다 — 애초에 복조가 일어나지 않습니다.
- AM은 통과입니다. 포락선이 곧 정보이고, 공기가 하는 일이 곧 포락선 검파이므로 둘의 궁합이 맞습니다. 다만 '제곱'과 '두 번 미분'이라는 공기 특유의 버릇 때문에 그대로 두면 왜곡과 저역 부족이 따라옵니다. 그 보정이 13·14편의 주제입니다.
- PWM은 판정 대상이 아닙니다. 애초에 공기에게 해독을 맡기는 신호가 아니라, AM 파형을 트랜스듀서까지 효율적으로 밀어 주는 방식이기 때문입니다.
정리하면 지향성 스피커의 답은 셋 중 하나를 고르는 문제가 아니라 'AM으로 설계하고 PWM으로 구동한다'는 2단 구성입니다. 13편에서 이 구성을 실제 회로와 트랜스듀서 특성에 맞춰 조립합니다.
흔한 오해 세 가지
오해 1 — "FM이 음질이 좋으니 지향성 스피커도 FM이 낫다." FM의 음질 우위는 전자 회로 수신기가 리미터와 판별기를 갖췄을 때의 이야기입니다. 공기에는 그런 회로가 없습니다. 복조기를 바꿀 수 없으니 신호를 복조기에 맞춰야 합니다.
오해 2 — "PWM은 AM보다 나은 변조 방식이다." 층이 다릅니다. PWM은 진폭을 시간으로 바꿔 표현한 것이므로, 저역 통과 후에는 원래의 진폭 정보로 되돌아옵니다. AM을 대체하는 것이 아니라 AM을 실어 나릅니다.
오해 3 — "반송파 전력은 정보가 없으니 낭비다." 통신에서는 맞는 지적이고, 그래서 SSB나 반송파 억압 방식이 발달했습니다. 그러나 지향성 스피커에서 반송파는 공기라는 복조기가 동작하기 위한 기준 신호입니다. 반송파를 지우면 복조에 필요한 기준이 사라져 소리가 크게 일그러집니다. 통신의 상식이 여기서는 통하지 않는 대표적인 대목입니다.
정리
변조는 반송파의 진폭(AM)·주파수(FM)·펄스 폭(PWM) 중 하나에 정보를 싣는 기술입니다. AM은 대역이 좁고 구현이 단순하며 포락선에 정보를 남기고, FM은 잡음에 강한 대신 40kHz 반송파로는 감당할 수 없는 대역을 요구하며, PWM은 정보를 담는 방식이라기보다 90% 이상의 효율로 전력을 전달하는 수단입니다.
일반 통신에서는 용도에 따라 고르면 되지만, 지향성 스피커의 복조기는 전자 회로가 아니라 비선형 공기라는 특수한 수신기입니다. 공기는 포락선만 읽으므로 FM은 원리적으로 무음이고, 답은 AM으로 인코딩하고 PWM으로 구동한다로 좁혀집니다. 다음 편에서는 이 결론을 트랜스듀서의 좁은 공진 대역이라는 현실 조건 위에 올려놓고, 왜곡을 줄이기 위한 변조 방식들을 정량으로 비교합니다.
시리즈 안내
「지향성 스피커의 과학」은 아래 순서로 이어집니다.
- 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
- 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
- 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
- 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
- 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
- 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향
- PAA 이론 심화 — Berktay·Westervelt·KZK
- 소리를 조준하다 — 페이즈드 어레이와 빔포밍
- 압전 효과 — 전기가 소리가 되는 순간
- 초음파 트랜스듀서 설계 — 공진과 배치
- 나이퀴스트 정리 — 디지털 소리의 출발점
- 변조 입문 — AM·FM·PWM 한눈 비교 (이번 편)
- 이후: 지향성 스피커의 변조 전략, 신호처리 최적화
이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.
참고 자료
- J. R. Carson, "Notes on the Theory of Modulation," Proc. IRE 10(1), 57 (1922) : 변조가 만들어내는 측파대와 점유 대역을 처음 정식화한 논문. 본문 FM 대역폭 표의 근거식 BW ≈ 2(Δf + f_m)의 출처
- E. H. Armstrong, "A Method of Reducing Disturbances in Radio Signaling by a System of Frequency Modulation," Proc. IRE 24(5), 689 (1936) : FM의 잡음 억제 효과를 실증한 원전. 본문 "FM이 진폭 잡음에 강하다"의 근거
- H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965) : 공기가 복원하는 소리가 "포락선 제곱의 2차 미분"이라는 관계식. FM 탈락 판정의 수학적 근거
- P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963) : 초음파 두 성분의 비선형 상호작용으로 차주파수가 생성된다는 이론
- M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983) : 공기 중 트랜스듀서 배열로 AM 변조 초음파에서 가청음을 얻은 실험
- T. Kamakura et al., "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991) : 반송파 변조 방식에 따라 음장과 왜곡이 어떻게 달라지는지 비교한 연구
- "Dynamic single sideband modulation for realizing parametric loudspeaker," AIP Conf. Proc. 1022, 613 (2008) : 본문 SSB 대역폭 항목의 배경. 측파대 처리로 대역과 왜곡을 함께 잡는 기법
- US 5,889,870 — Acoustic heterodyne device and method : 초음파 반송파에 오디오를 실어 가청음을 얻는 방식의 특허
- Amplitude modulation — Wikipedia : 측파대 전력 비율 m²/(2+m²)을 포함한 AM의 기본 관계식
- Carson bandwidth rule — Wikipedia : FM 대역폭 표의 계산에 쓴 근사식 정리
- Pulse-width modulation — Wikipedia : 듀티 사이클과 평균 전압의 관계, 빗살 스펙트럼 개요
- Class-D amplifier — Wikipedia : 스위칭 증폭기의 손실 구조와 효율 범위. 증폭 효율표의 Class D 항목 근거