지향성 스피커의 과학 #13 — 지향성 스피커의 변조 전략: 공진과 PWM

12편에서 예고한 판정전입니다. AM·FM·PWM 세 변조 방식이 지향성 스피커라는 특수한 링 위에서 각각 어떤 판정을 받는지 — 이론(Berktay)과 하드웨어(트랜스듀서 공진)의 양면으로 살펴봅니다. 결론부터 말하면 승자는 'AM으로 설계하고 PWM으로 구동한다'는 2단 전략입니다.

FM의 탈락 — 수학이 내리는 판정

7편의 Berktay 법칙을 다시 꺼냅니다 — 공기가 복원하는 소리는 P_aud(t) ∝ ∂²/∂t² [E(t)]², 즉 포락선 E(t)의 제곱을 두 번 미분한 것입니다. 그런데 FM 신호의 진폭은 상수입니다. 상수를 미분하면 언제나 0 — 이론적으로 FM 신호는 공기 중에서 아무 소리도 만들 수 없습니다.

그런데 실험실에서 FM을 쏘면 소리가 들리긴 합니다. 왜일까요? 공기가 복조해서가 아니라, 트랜스듀서가 FM을 AM으로 강제 변환했기 때문입니다(Slope Detection). 트랜스듀서의 좁은 공진 곡선 위에서 주파수가 흔들리면 출력 진폭이 따라 흔들려 의도치 않은 AM이 생기는 것입니다. 문제는 그 대가입니다 — 공진 곡선은 선형이 아니어서 극심한 왜곡(THD)이 생기고, 공진점을 벗어난 에너지는 열로 소산되어 소자 파손까지 부를 수 있습니다. FM은 탈락입니다.

다만 '탈락'이 '연구 종료'라는 뜻은 아닙니다. FM은 진폭이 일정해 증폭기를 포화 영역에서 굴릴 수 있으므로 전력 효율이 좋고, 그 이점을 살리려는 시도가 계속 있었습니다. 공진 곡선이 만드는 비선형 변환을 미리 역으로 계산해 신호에 넣어 두는 보상 기법이 대표적입니다(Hatano 외, 2017). 결국 FM을 쓴다는 것은 공기가 아니라 트랜스듀서를 복조기로 삼고, 그 복조기의 비선형성을 통째로 모델링하겠다는 뜻입니다. 부품 편차와 온도로 공진 곡선이 움직이는 현실을 생각하면, 같은 노력을 AM 쪽 전처리에 쓰는 편이 훨씬 남습니다.

하드웨어의 사정 — 트랜스듀서 공진 특성 읽기

왜 트랜스듀서는 이렇게 '편협한' 공진 곡선을 가질까요? 9·10편의 내용이 여기서 합류합니다. 트랜스듀서는 공진 주파수 f_r에서 최대 진동·최대 효율을 내고(임피던스 최소), 그 곡선의 날카로움은 Q 계수가, 쓸 수 있는 폭은 대역폭(BW)이 정합니다. 지향성 스피커가 왜곡 없이 재생하려면 반송파와 측파대 전체가 이 대역폭 안에 들어와야 합니다. 온도나 혼 장착 같은 환경 요인으로 f_r이 미세하게 움직이는 것까지 감안해야 하는, 여유가 많지 않은 무대입니다.

이 제약은 말이 아니라 숫자로 봐야 실감이 납니다. 공진계의 정의에 따라 BW = f_r / Q이고, 양측파대(DSB)로 변조하면 점유 대역은 오디오 상한의 두 배가 되므로 실을 수 있는 오디오 상한은 BW / 2입니다. 반송파 40kHz 기준으로 계산하면 이렇게 됩니다.

트랜스듀서 Q	-3dB 대역폭 (f_r=40kHz)	DSB 기준 오디오 상한	SSB 기준 오디오 상한	실무상 의미
3	13.3kHz	6.7kHz	13.3kHz	광대역이지만 감도·음압을 크게 손해
5	8.0kHz	4.0kHz	8.0kHz	음성 안내에 충분, 음악은 답답
10	4.0kHz	2.0kHz	4.0kHz	말소리 명료도의 하한선 부근
20	2.0kHz	1.0kHz	2.0kHz	고감도 소자의 전형, 음성도 빠듯
30	1.33kHz	0.67kHz	1.33kHz	경보음·단일 톤 전용

표가 말하는 바는 분명합니다. Q를 높이면 음압을 얻고 대역을 잃습니다. 압전 소자를 공진에서 굴리는 이유는 같은 전압으로 훨씬 큰 진폭을 얻기 위해서인데, 그 이득은 정확히 대역폭을 팔아 산 것입니다. 지향성 스피커 설계가 유독 답답한 이유가 여기 있습니다 — 파라메트릭 어레이는 초음파 음압의 제곱에 비례해 소리를 만들기 때문에 음압을 포기할 수 없고, 그렇다고 대역을 포기하면 재생할 오디오가 남지 않습니다.

그래서 실제 배열은 조금씩 다른 f_r을 가진 소자를 섞어 합성 대역을 넓히거나, 후면 공기실·정합층으로 기계적 Q를 의도적으로 낮춥니다. 어느 쪽이든 표의 오른쪽 칸을 얻는 대가로 왼쪽 칸을 내주는 거래입니다.

공진의 대칭성은 어디서 오는가

주목할 성질이 하나 있습니다 — 공진 곡선은 f_r을 중심으로 대칭입니다. 물리적으로는 질량-스프링-댐퍼 진동계, 전기적으로는 RLC 직렬 공진(BVD 등가 회로), 수학적으로는 로렌츠 분포 — 세 관점이 같은 종 모양 대칭 곡선을 그립니다. 이 대칭성이 다음 선택지에서 결정적 역할을 합니다.

세 관점이 하나로 모이는 것은 우연이 아닙니다. 압전 진동자를 전기 회로로 바꿔 놓으면 직렬 RLC 가지 하나와 병렬 정전용량 하나로 환원된다는 사실은 1928년에 이미 정리됐습니다(Van Dyke). 기계적 질량은 인덕턴스로, 강성은 커패시턴스로, 마찰 손실은 저항으로 대응합니다. 그리고 감쇠가 크지 않은 2차계의 응답은 공진점 부근에서 f_r을 축으로 좌우가 같은 모양이 됩니다. 요컨대 트랜스듀서는 f_r보다 1kHz 낮은 성분과 1kHz 높은 성분을 거의 구별하지 못합니다. 이 '구별하지 못함'이 다음 절의 결론을 미리 정해 놓습니다.

AM의 두 얼굴 — DSB냐 SSB냐

살아남은 AM에도 두 갈래가 있습니다. 5kHz 음성을 40kHz에 실으면 35kHz(하측파대)와 45kHz(상측파대)가 생기는데, 둘 다 쏘느냐(DSB) 하나만 쏘느냐(SSB)의 선택입니다.

• DSB(양측파대) — 두 측파대가 모두 반송파와 상호작용해 소리가 큽니다. DSP 구현도 쉽습니다. 대신 대역폭을 넓게 쓰고 전력이 비효율적입니다.
• SSB(단측파대) — 대역폭·전력 효율이 좋지만 소리가 약하고, 힐베르트 변환 같은 복잡한 DSP 필터가 필요합니다.

여기서 아까의 대칭성이 개입합니다 — 40kHz 중심의 대칭 공진 특성 때문에 45kHz가 재생되면 구조적으로 35kHz도 비슷하게 재생됩니다. 특정 한쪽 측파대만 내보내는 것이 물리적으로 어렵다는 뜻으로, 실무 설계가 대체로 DSB 기반에서 출발하는 이유입니다.

SSB에는 대칭성 말고도 짚어야 할 성질이 하나 더 있습니다. 공기가 읽는 것은 스펙트럼이 아니라 포락선인데, 상측파대만 남긴 신호의 포락선은 원 신호 s와 그 힐베르트 변환 ŝ가 뒤섞인 형태가 됩니다. 이것을 제곱하면 1 + m·s + (m²/4)(s² + ŝ²)가 되는데, 뒤쪽 괄호가 흥미롭습니다 — 신호가 정현파 한 톤이면 s² + ŝ²는 항등적으로 1(상수)이라 미분하는 순간 사라집니다. 즉 단일 톤에서 SSB의 원리적 왜곡은 정확히 0입니다.

문제는 실제 음악·음성이 단일 톤이 아니라는 데 있습니다. 톤이 둘 이상이면 s² + ŝ²는 더 이상 상수가 아니고, 두 톤의 차주파수 근처에 원 신호에 없던 성분이 남습니다. 대역은 절반으로 줄었는데 왜곡은 완전히 사라지지는 않는 것입니다. 이 잔여분을 반복 계산으로 깎아 내려가는 재귀형 SSB, 두 측파대에 서로 다른 가중치를 주는 가중 DSB 같은 변형들이 제안된 배경이 이것입니다.

변조 방식 판정표

지금까지의 논의를 한 장으로 정리합니다. 점유 대역은 오디오 상한을 f_a로 두었을 때의 값이고, '원리적 왜곡'은 부품 품질과 무관하게 수식에서 나오는 몫입니다.

방식	포락선 E(t)	점유 대역	원리적 왜곡	연산 부담	공진 대역과의 궁합	판정
DSB-AM (무보정)	1 + m·s(t)	2 f_a	단일 톤 2차 고조파 = m (m=0.5면 50%)	곱셈 1회	대칭 곡선과 자연스럽게 맞음	기준점
제곱근 AM (DSB)	√(1 + m·s(t))	2 f_a ~ 8 f_a (m에 좌우)	이론상 상쇄, 대역 잘림만큼 잔존	제곱근 + 대역 제한	m이 크면 대역 초과	실무 표준
SSB	원 신호 + 힐베르트 성분	f_a	단일 톤은 0, 다중 톤에서 잔존	힐베르트 변환	대칭 공진이 반대편을 되살림	부분 채택
재귀 SSB · 가중 DSB	반복 보정된 포락선	f_a ~ 2 f_a	반복 횟수만큼 감소	반복 연산·지연	양호	고급 선택
FM	상수	좁음	자기복조 출력 0 (슬로프 검파에 의존)	낮음	공진 기울기에 전적으로 의존	탈락
사각파 PWM 구동	듀티 사이클	기본파 + 홀수 고조파	스위칭 고조파(공진 밖)	비교기 1개	공진이 복원 필터 역할	전력단의 정답

표의 두 번째 행이 이 시리즈의 결론과 이어집니다. 7편에서 본 "복원음 ∝ 포락선 제곱의 2차 미분"이라는 관계식은, 포락선에 미리 제곱근을 씌워 두면 제곱과 정확히 상쇄된다는 처방을 그대로 알려 줍니다. 다만 제곱근 연산은 신호에 없던 고조파를 만들어 포락선 자체의 대역을 넓히고, 그 넓어진 대역이 앞서 본 트랜스듀서 Q의 벽에 부딪힙니다. 어디까지 제곱근을 걸고 어디서 자를 것인가 — 이 저울질이 14편의 주제입니다.

수치로 본 왜곡 억제 성능

표의 '원리적 왜곡'을 실제 숫자로 바꿔 보겠습니다. 각 방식의 포락선 E(t)를 직접 만들어 Berktay 식대로 E(t)²를 두 번 미분한 뒤, 복원된 오디오에 원래 없던 성분이 얼마나 섞이는지 계산했습니다. 조건은 변조 지수 m = 0.7, 구동 전압의 피크가 모두 같아지도록 정규화, 시험 신호는 단일 톤(1kHz)과 2톤(1.0kHz + 1.3kHz) 두 가지입니다. 2톤을 함께 본 이유는 앞 절에서 말한 대로 단일 톤만으로는 SSB의 약점이 드러나지 않기 때문입니다.

방식	단일 톤 왜곡	2톤 왜곡	복원음 출력	포락선 대역	구현 난이도
DSB-AM (무보정)	57.4%	50.6%	0 dB (기준)	2 f_a	곱셈 1회
제곱근 AM (대역 무제한)	0%	0%	−1.4 dB	3 f_a (−40dB) ~ 5 f_a (−60dB)	제곱근 1회
제곱근 AM (3.2kHz로 대역 제한)	8.0%	12.8%	−1.3 dB	약 2.5 f_a	제곱근 + 저역통과
SSB (반송파 + 상측파대)	0%	0.80%	−2.0 dB	f_a	힐베르트 변환
재귀 SSB · 가중 DSB	반복 횟수만큼 감소	반복 횟수만큼 감소	SSB와 유사	f_a ~ 2 f_a	반복 연산 + 지연
사각파 PWM 구동	포락선 왜곡 없음	스위칭 3차 −38dB	+4.2 dB	기본파 + 홀수 고조파	비교기 1개

표에서 읽어야 할 것은 순위가 아니라 교환 조건입니다. 무보정 DSB의 57%라는 왜곡은 7편에서 본 관계식 m / √(1 + m²)에 m = 0.7을 넣은 값과 정확히 일치하며, 제곱근을 걸면 이 왜곡이 수치상 0으로 사라집니다. 대신 포락선의 대역이 f_a의 서너 배로 벌어지고(m이 1에 가까우면 여덟 배까지), 그 대역을 3.2kHz에서 강제로 자르는 순간 왜곡이 8~13%로 되살아납니다. 제곱근 보정의 효과는 트랜스듀서가 내주는 대역폭만큼만 실현됩니다.

SSB 열은 대역을 절반으로 줄이고도 왜곡이 1% 미만이라 매력적이지만, 억제하려던 반대편 측파대가 대칭 공진에서 되살아나면 표의 0.80%는 지켜지지 않습니다. 마지막 행의 사각파 PWM은 성격이 다릅니다 — 여기서 생기는 것은 포락선 왜곡이 아니라 스위칭 고조파이고, 그것은 다음 두 절에서 보듯 공진 곡선이 스스로 걸러 냅니다. 같은 공급 전압에서 기본파가 4/π배 커져 초음파 음압이 2.1dB 오르고, 복원음은 음압의 제곱에 비례하므로 +4.2dB가 됩니다.

PWM — 전력의 언어

남은 질문은 '이 AM 신호를 어떻게 고효율로 증폭하는가'입니다. 진폭을 연속적으로 키우는 선형 증폭기(Class A/AB)는 수도꼭지를 반쯤 열어두는 방식이라 잉여 에너지를 열로 버립니다(효율 70% 미만). PWM + 스위칭 증폭기(Class D)는 수도꼭지를 완전히 켜고 끄기만 하되 그 '열린 시간의 폭'으로 양을 조절합니다 — 효율 90% 이상, 손실 최소. 수백 개 트랜스듀서를 구동해야 하는 지향성 스피커에서 효율은 선택이 아니라 생존의 문제입니다.

'효율 70% 미만'에는 계산 근거가 있습니다. 푸시풀 선형 증폭기(Class B)의 이론 최대 효율은 출력 진폭이 공급 전압에 꽉 찼을 때 π/4 ≈ 78.5%이고, 실제로는 바이어스 전류와 여유 전압 때문에 이보다 낮습니다. 반면 스위칭 증폭기의 손실은 도통 저항과 스위칭 전이 구간에서만 생깁니다.

이 차이가 지향성 스피커에서 유독 크게 벌어지는 이유는 반송파가 항상 켜져 있기 때문입니다. 일반 오디오 증폭기는 음악의 평균 레벨이 피크보다 한참 아래여서 선형 증폭기도 평균 소비가 낮지만, 지향성 스피커는 소리가 작든 크든 40kHz 반송파를 계속 최대 출력에 가깝게 내보냅니다. 선형 증폭이라면 그 상시 부하가 통째로 발열이 됩니다. 소자 수십·수백 개를 한 패널에 붙여 놓은 구조에서 이 열은 곧 f_r 이동과 수명 저하로 돌아옵니다.

왜 사각파로 때려도 되는가 — 공진이 곧 복원 필터

선형 증폭을 버렸다면 트랜스듀서에는 매끈한 정현파 대신 모서리가 각진 사각파가 들어갑니다. 오디오 증폭기라면 큰일 날 일이지만, 여기서는 오히려 유리합니다. 두 가지 이유가 있습니다.

첫째, 사각파의 기본파가 더 큽니다. 진폭 1의 사각파를 푸리에 급수로 펼치면 기본파 성분의 진폭은 4/π ≈ 1.27, 즉 같은 진폭의 정현파보다 약 2.1dB 높습니다. 같은 공급 전압으로 더 강한 초음파를 얻는다는 뜻이고, 파라메트릭 어레이는 초음파 음압의 제곱으로 소리를 만들기 때문에 이 2.1dB는 복원음에서 두 배 가까운 이득으로 돌아옵니다.

둘째, 불필요한 고조파를 공진이 알아서 버립니다. 사각파의 고조파는 홀수 차수에만 있고 진폭은 1/n로 줄어듭니다. 40kHz 사각파라면 3차는 120kHz에서 기본파 대비 −9.5dB, 5차는 200kHz에서 −14dB입니다. 그런데 앞의 표에서 봤듯 Q=10짜리 트랜스듀서의 -3dB 대역은 40kHz ± 2kHz에 불과합니다. 120kHz는 그 대역에서 아득히 멀어, 소자가 사실상 아무 반응도 하지 않습니다. 골칫거리였던 좁은 대역폭이 여기서는 공짜 저역통과 필터로 작동합니다.

정리하면 사각파 구동은 '대충 때리는' 방식이 아니라, 소자의 물리적 성질을 필터로 재활용하는 설계입니다. 다만 대가도 있습니다 — 공진 밖으로 나간 고조파 에너지는 소리가 되지 못하고 소자 안에서 열이 되거나 전선에서 전자기 잡음이 됩니다. 스위칭 가장자리를 완만하게 만드는 게이트 제어와 배선 차폐가 실무에서 빠지지 않는 이유입니다.

구동 파이프라인 — 세 단계로 조립하다

그래서 실제 구동 체인은 이렇게 조립됩니다. ① DSP 단계: 오디오를 40kHz 캐리어에 합성해 AM 신호를 설계하고(공기가 해독할 파형 껍데기 만들기), ② Modulator 단계: AM의 진폭 정보를 PWM 듀티 사이클로 치환하고, ③ Power Stage: H-브리지가 고전압을 스위칭해 고에너지 초음파를 발사합니다.

세 단계는 각각 다른 언어를 씁니다. ①은 숫자열을, ②는 시간 길이를, ③은 전하의 양을 다룹니다. 경계마다 잃는 것이 있으니 오차 예산을 나눠 잡아야 합니다 — ①에서 표본화율이 부족하면 측파대가 접혀 들어오고, ②에서 듀티 분해능이 부족하면 양자화 잡음이 반송파 옆에 붙으며, ③에서 데드타임이 길면 듀티가 왜곡됩니다. 11편의 표본화 정리는 ①의 문제이고, 14편에서 다룰 변조 지수는 ①과 ②에 걸쳐 있습니다.

흔한 오해 세 가지

• "FM은 진폭이 일정하니 지향성 스피커에 유리하다" — 정반대입니다. 진폭이 일정하다는 것은 포락선에 정보가 없다는 뜻이고, 공기는 포락선만 읽습니다. 증폭 효율의 장점은 PWM이 이미 더 큰 폭으로 제공합니다.
• "SSB를 쓰면 대역이 절반이니 트랜스듀서 문제가 풀린다" — 절반만 맞습니다. 점유 대역은 줄지만 대칭 공진이 반대편 측파대를 되살리고, 남은 포락선이 원 신호와 달라 왜곡이 새로 생깁니다.
• "Class D는 음질이 나쁘니 고급기에는 선형 증폭을 쓴다" — 일반 오디오의 통념을 그대로 옮긴 오해입니다. 여기서 최종 음질을 정하는 것은 증폭기의 파형 충실도가 아니라 포락선의 정확도이고, 사각파 고조파는 트랜스듀서 공진이 걸러 냅니다.

정리

공기는 포락선만 듣기에 FM은 원리상 무음이고(들리면 왜곡·발열의 부작용), 정보는 AM으로 인코딩합니다. 공진의 대칭성 때문에 실무는 DSB 중심이며, 전력은 PWM 스위칭으로 해결합니다. 그리고 그 좁은 공진 대역은 골칫거리인 동시에 사각파 고조파를 걸러 주는 무료 필터이기도 합니다. 이제 시리즈의 마지막 조각만 남았습니다 — 제곱근 사전보상을 어디까지 걸고 변조 지수를 어디에 둘 것인가, 즉 이 체인 전체를 최적화하는 신호처리 이야기로 완결합니다.

시리즈 안내

「지향성 스피커의 과학」은 아래 순서로 이어집니다.

1. 지향성 스피커란 무엇인가 — 소리의 손전등
2. 들리지 않는 소리에 소리를 싣다 — 동작 원리 첫걸음
3. 지향성 스피커 활용 사례 — 전시·안전·리테일·오피스
4. 초음파란 무엇인가 — 정의·종류·전파 특성
5. 왜 초음파인가 — 생성 원리와 응용 지도
6. 공기가 스피커가 되는 마법 — PAA 비선형 음향
7. PAA 이론 심화 — Berktay·Westervelt·KZK
8. 소리를 조준하다 — 페이즈드 어레이와 빔포밍
9. 압전 효과 — 전기가 소리가 되는 순간
10. 초음파 트랜스듀서 설계 — 공진과 배치
11. 나이퀴스트 정리 — 디지털 소리의 출발점
12. 변조 입문 — AM·FM·PWM 한눈 비교
13. 지향성 스피커의 변조 전략 — 공진과 PWM (이번 편)
14. 이후: 신호처리 최적화 — 대역폭과 변조 지수 (완결)

이 시리즈는 초음파 지향성 음향 기술을 직접 연구·정리한 자체 강의 자료를 블로그 형식으로 재구성한 것입니다. 도판은 해당 자료에서 발췌했습니다.

참고 자료

• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965) : 본문의 P_aud ∝ ∂²/∂t²[E(t)]² 관계식 원전. FM 탈락 판정의 근거
• H. O. Berktay, D. J. Leahy, "Farfield performance of parametric transmitters," JASA 55(3), 539 (1974) : 포락선 근사의 원거리 유효 범위와 한계 조건
• T. Kamakura et al., "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991) : 반송파 변조 방식에 따른 음장·왜곡 특성 비교
• "Dynamic single sideband modulation for realizing parametric loudspeaker," AIP Conf. Proc. 1022, 613 (2008) : SSB 계열 변조로 대역과 왜곡을 함께 다루는 기법
• Y. Wang et al., "SSB modulation of the ultrasonic carrier for a parametric loudspeaker," Int. Conf. Electronic Computer Technology, 669 (2009) : 단측파대 변조의 구현과 잔여 왜곡
• P. Ji, W.-S. Gan, E.-L. Tan, J. Yang, "Performance analysis on recursive single-sideband amplitude modulation for parametric loudspeakers," IEEE ICME, 748 (2010) : 반복 보정으로 SSB 잔여 왜곡을 줄이는 재귀형 기법
• Y. Hatano, C. Shi, Y. Kajikawa, "Compensation for nonlinear distortion of the frequency modulation-based parametric array loudspeaker," IEEE/ACM TASLP 25(8), 1709 (2017) : FM 구동 시 트랜스듀서 비선형을 모델링해 보상하는 접근
• K. S. Van Dyke, "The piezo-electric resonator and its equivalent network," Proc. IRE 16(6), 742 (1928) : 본문의 BVD 등가 회로와 공진 곡선 대칭성의 원전
• A. R. Oliva, S. S. Ang, T. V. Vo, "A multi-loop voltage feedback filterless class-D switching audio amplifier using unipolar pulse-width-modulation," IEEE Trans. Consumer Electronics 50(1), 312 (2004) : PWM 스위칭 증폭단의 구성과 손실 요인
• US 5,889,870 — Acoustic heterodyne device and method : 초음파 반송파로 가청음을 얻는 방식 특허
• Class-D amplifier — Wikipedia : 스위칭 증폭의 동작과 효율 개관