该兑现第2篇预告的承诺了。本篇正式讨论定向扬声器的心脏——参量声阵列（Parametric Acoustic Array, PAA）。"空气变成扬声器"这一说法出自怎样的物理，本篇立起原理，下一篇再用公式确认。
1951年伦敦的偶然——Westervelt的发现
1951年伦敦，物理学家彼得·韦斯特维尔特（Peter J. Westervelt）目睹了在强超声波束之间出现非本意的可闻频率这一现象。本不该被听见的两束超声波相遇之处，诞生了听得见的声音。他运用流体力学的基础——莱特希尔方程（Lighthill's Equation），建立了非线性介质中的声散射理论，这成为现代超指向扬声器与水下声呐的理论基础。第5篇历史年表中看到的"1960s Westervelt"正是这段故事。
莱特希尔在1952年建立的方程，本来是想解释喷气发动机的噪声为何产生。该方程的核心思想，是把流体的运动本身改写成"声学等效声源"。也就是把流体剧烈运动的区域，置换为置于安静介质之中的虚拟声源分布。韦斯特维尔特所做的，是在等效声源的位置上代入的不是湍流，而是强超声波束所形成的压力场。为解决航空噪声而造的工具，成了定向扬声器的理论基础。
在当时，这一想法有悖常识。声学的基本前提是叠加原理——声音只是彼此穿过，并不改变彼此，而两个声音相遇产生第三个声音，正是对该前提的正面否定。韦斯特维尔特理论所做的事，就是把这一例外何时发生、发生多少加以定量化。
空气的两副面孔——线性与非线性
理解PAA的钥匙，是空气会依声能大小而表现得不同这一事实。
- 线性（Linearity）——可预测的平静：声能较小时，空气会把输入信号无失真地成正比传递。我们所听到的大部分声音都在这一区域，此时多个声音叠加也不会互相改变（叠加原理）。
- 非线性（Nonlinearity）——强能量的失真：声压极大时，空气的压缩与膨胀不再对称。波形发生畸变，原本不存在的新频率成分由此诞生。
"打破"传统声学所恪守的叠加原理的第二个区域，正是PAA的舞台。不过有一处容易误解——线性与非线性并不是两种不同的空气。空气始终是非线性的，只是声压小时非线性项小到可忽略，看起来像线性而已。即便在日常对话的60dB声压下，非线性成分也存在，只是太小以至于谁都察觉不到。
非线性为何产生——声速随振幅而变
波形畸变的原因简单得惊人：因为声音的各个部分以不同的速度前进。原因有两重。
- 介质本身的非线性（状态方程项）——压缩空气时，上升的不只是密度，刚度也随之上升。被压缩的部分比原来更硬，声速因而变快。
- 对流项——被压缩部分的空气微粒实际上会沿波的前进方向被推着移动。骑在其上的波是在"移动的地面"上奔跑，因此相对地面的速度也就加上了这一部分。
把两者合起来，某一点的局域声速可写成：
c(u) = c₀ + β·u （u = 质点速度，β = 非线性系数，空气中 β ≈ 1.2）
这里的β来自介质的状态方程，对空气而言由 B/A ≈ 0.4 得到 β = 1 + B/2A ≈ 1.2。实际算一算这一效应有多大，感觉就抓得住了。质点速度为 u = p/(ρ₀c₀)，按声压级整理如下。
| 声压级 | 声压 p | 质点速度 u | 声速变化 β·u | 相对c₀的变化率 |
|---|---|---|---|---|
| 120dB | 20.0Pa | 0.048m/s | 0.058m/s | 0.017% |
| 130dB | 63.2Pa | 0.153m/s | 0.184m/s | 0.054% |
| 140dB | 200.0Pa | 0.484m/s | 0.581m/s | 0.169% |
| 150dB | 632.5Pa | 1.531m/s | 1.837m/s | 0.535% |
表中值得注意的是变化率小得离谱这一事实。即便在140dB这样极端的声压下，声速差也仅为0.17%。尽管如此波形仍会明显畸变，原因在于这一微小的速度差会沿距离不断累积。波峰比波谷快上一点点地走上数米，波峰便一点点追上前方的波谷，波形的前沿因而变陡。这就是波形陡化（waveform steepening）。
从陡化到激波——距离造就的畸变
陡化进行到底时，波形前沿会接近垂直，这一点称为激波形成（shock formation）。最初形成激波的距离用下面的关系估计。
x̄ = ρ₀c₀³ / (β · ω · p₀) （ω = 2πf，p₀ = 声压幅值）
式子说明了三件事：声压越大、频率越高、非线性系数越大，激波形成得越近。在40kHz空气中按声压计算，结果如下。一并列出的吸收长度，是由第4篇的吸收系数1.318dB/m求得的值（振幅降到1/e的距离为6.59m）。
| 声压级（40kHz） | 激波形成距离 x̄ | 与吸收长度之比 | 解释 |
|---|---|---|---|
| 120dB | 8.07m | 0.82 | 激波形成之前就已被吸收消耗殆尽 |
| 125dB | 4.54m | 1.45 | 边界区域——只累积微弱畸变 |
| 130dB | 2.55m | 2.58 | 实用区域——非线性充分，波形仍较平缓 |
| 140dB | 0.81m | 8.17 | 强非线性——在辐射面附近就已畸变 |
| 150dB | 0.26m | 25.83 | 饱和区域——能量漏向谐波 |
第三列的比值是称为戈尔德堡数的指标，用来衡量是非线性取胜还是吸收取胜。小于1时畸变还没长起来空气就先把能量吃掉，大于1则为畸变的成长争取到时间。参量扬声器要求130dB上下高声压的理由正在于此。目的不是把声音放大，而是必须进入非线性胜过吸收的区域，空气才会充当解调器。
与此同时，这张表也道出了本技术的上限。声压无限提高，激波便会在辐射面眼前形成，此后能量就不再流向我们想要的差频，而是漏向谐波。也就是说，打得更狠并不会一直变好。非线性不分我们想要与不想要的成分，一并把它们养大。
自解调——空气自行还原声音
换成具体数字，魔法便褪去了。当换能器强烈发射两束超声波——载波f1 = 40kHz与被调制的波f2 = 41kHz——时，两束波在非线性空气中相互作用，产生出新的频率。
- 和频（f1+f2 = 81kHz）——仍是超声波。听不见，且因频率高而很快衰减消失。
- 差频（f2−f1 = 1kHz）——是可闻频率。耳朵听得见的声音，在空气正中诞生。
发射以语音信号调制的超声波，这一差频成分便正是原来的语音。不是扬声器造出声音，而是空气自行对超声波解调（Self-Demodulation）并重放出声音。这就是第2篇仅凭直觉说明过的那个现象的真面目。
不过实际诞生的成分并非只有两个。二阶非线性相当于两个信号的乘积，因此所有组合会一次性生成。把上述条件下出现的成分整理如下。
| 生成成分 | 频率 | 是否可闻 | 命运 |
|---|---|---|---|
| 差频（f2−f1） | 1kHz | 可闻 | 我们想要的信号——几乎不被吸收，传得远 |
| 和频（f1+f2） | 81kHz | 不可闻 | 吸收大，迅速消亡 |
| 二次谐波（2f1） | 80kHz | 不可闻 | 同上——属于载波能量的损失 |
| 二次谐波（2f2） | 82kHz | 不可闻 | 同上 |
| 原载波（f1, f2） | 40・41kHz | 不可闻 | 以每米1.3dB衰减，同时持续供给虚拟声源 |
表所显示的结构正是本技术的核心。所生成的成分中只有差频存活下来。其余全在超声频段，会被空气迅速吸收。也就是说，空气在造出声音的同时，还兼任滤掉多余成分的低通滤波器。设计者不必加装滤波器，介质会自行收拾干净。
虚拟端射阵列——长达数米的看不见的扬声器
那么，这样造出来的声音为何行进得如此之窄？非线性相互作用在波束经过的整条路径上连续发生。也就是说，超声波束穿过的数米空气柱整体成为虚拟声源之列（Virtual Source Column）。声学上把声源沿前进方向排成一列的结构称为端射阵列（End-fire Array）——物理扬声器只有巴掌大，空气中却造出了长达数米的虚拟阵列。回想第4篇的指向性条件（D≫λ）——声源越长，波束越锐利。其结果就是波束宽度1~3°的超指向可闻声。
把这个虚拟阵列的尺寸实际量一量，为何能出这么窄的波束就更清楚了。阵列的长度由载波存活的区间即吸收长度决定，40kHz时约6.6m。阵列的粗细则被超声波束的直径所限。若为直径300mm的面板，波束窄至1.7°，因此虚拟声源柱大致是直径0.3m・长6.6m的细长圆柱。按长径比算是22比1。
本技术真正的诀窍就藏在这里。把同样的1kHz用直径300mm的扬声器直接发出，波束宽度是67.5°（用第5篇的式子计算），是弥漫整个房间的声音。可同样的1kHz若诞生于虚拟阵列，就成了几度宽的波束。同样的频率、同样的波长，指向性却完全不同。造成差别的不是声音的频率，而是造出该声音的声源的几何形状。因为可闻声不是诞生于300mm的板，而是诞生于6.6m的柱，所以衍射的法则是按6.6m来适用的。
这一视角也有实务含义。若载波被墙挡住或处在吸收大的条件下，虚拟阵列的长度就会变短，可闻声的波束也随之变宽。这意味着第4篇所见的随湿度变动的吸收，不仅影响声压，也影响指向性。梅雨季声音发闷的同时也更不集中，正是同一原因的两副面孔。
没有免费的午餐——名为转换效率的代价
读到这里似乎是完美的技术，但PAA是极其低效的方式。二阶非线性本质上是很小的效应，而我们所用的正是这一微小效应的产物。请再看前表中出现的130dB这个值。必须倾注远大于普通扬声器发出对话级声音所需的声压的超声波，其中一部分才会变成可闻声。
加之第2篇所见的自解调关系——可闻成分正比于包络平方的二阶微分这一事实——又给低频加了额外负担。二阶微分每倍频程增益增大12dB，反过来说就是频率越低越吃亏，斜率为12dB/oct。意思是在1kHz出得很好的声音，到100Hz按该斜率会低40dB。参量扬声器擅长传递人声、却在音乐重放尤其低频上很弱，原因就在这里。
归纳起来，这项技术交换了三样东西。
- 得到指向性，失去效率。窄波束的代价是低转换效率。
- 得到高频，失去低频。12dB/oct的斜率出自物理，无法靠电路完全扳回（若要补偿就得把超声输出推得更高，于是失真与发热随之增加）。
- 得到距离，换来条件依赖性。声压与指向性都会随温湿度一同摇摆。
常见误解与局限
- "只有在两束超声波相遇的点上才发出声音"——不对。相互作用发生在两波重叠的所有点上，其结果沿路径累积。声音不是在某个特定交点被"点燃"，而是整条波束就是一个长长的声源。这一误解常导致把两束波束交叉、想只在指定坐标上浮现声音的错误设计。
- "既然空气是非线性的，普通扬声器的声音也应该失真"——原理上没错，实际上可忽略。如前表所示，即便在120dB下声速变化也只有0.017%，而可闻频率波长长，在同样距离上累积的相位少得多。非线性只有在高频与高声压同时成立时才具有实用意义。
- "用了两个超声波，所以也需要两个扬声器"——不对。实际实现是从一个换能器阵列辐射被调制的单一信号。40kHz与41kHz只是为说明该调制信号的边带而作的方便分解（参见第2篇的AM调制说明）。
- "越接近真空效果越好"——恰恰相反。非线性相互作用需要有介质才会发生。空气变稀薄时密度ρ₀下降，辐射本身就变得困难，所生成的可闻声也随之减少。这是一项有空气才能成立的技术。
小结——PAA的三根支柱
- 非线性前提——在强声压下，空气成为能造出新频率的非线性介质。
- 超声载波——把可闻信号载到40kHz频段的超声波上强力辐射。
- 虚拟阵列——整条路径成为声源，差频可闻声以1~3°的波束诞生。
把三根支柱压缩成一句话就是——用波长短的波造出波束，并在该波束之内生出波长长的声音。正因为把造波束的波长与人所听的波长分离开来，巴掌大的装置才能把米级波长的声音以几度宽的波束送出去。这就是第5篇比较过的其他方式终究没能翻越的那堵墙，唯独本技术翻过去的原因。
下一篇将以工程师的视角来读支配这一现象的诸式——Berktay的远场解、Westervelt方程、KZK方程。为了让公式不再可怕，讲解将围绕每个式子"是告诉我们什么的工具"来展开。
系列导览
《定向扬声器的科学》按以下顺序展开。
- 什么是定向扬声器——声音的手电筒
- 把声音载在听不见的声音上——工作原理第一步
- 定向扬声器的应用案例——展览、安全、零售、办公
- 超声波是什么——定义、种类、传播特性
- 为何选择超声波——生成原理与应用地图
- 空气变成扬声器的魔法——PAA非线性声学（本篇）
- 之后：PAA理论深化、波束成形、压电换能器、奈奎斯特、调制、信号处理
本系列是把亲自研究整理的超声定向音响技术自编讲义，以博客形式重新构成的内容。图片摘自该资料。
参考资料
- P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963)：参量声阵列理论的原典——本篇全文的理论出发点
- M. J. Lighthill, "On sound generated aerodynamically I. General theory," Proc. R. Soc. A 211, 564 (1952)：把流体运动置换为等效声源的莱特希尔方程——韦斯特维尔特理论的基础
- H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," J. Sound Vib. 2(4), 435 (1965)：自解调成分正比于包络平方二阶微分的关系——正文12dB/oct低频损失的依据
- "Parameter of Nonlinearity in Fluids," JASA 32(6), 719 (1960)：介质非线性参数B/A的定义与测量——正文 β = 1 + B/2A ≈ 1.2 的依据
- "Experimental investigation of a characteristic shock formation distance in finite-amplitude sound," Proc. Meet. Acoust. 12, 045002 (2011)：激波形成距离 x̄ = ρ₀c₀³/(βωp₀) 的实验验证——正文激波距离表所用计算式
- H. E. Bass et al., "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995)：40kHz吸收系数1.318dB/m与吸收长度6.59m计算的依据
- M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：在空气中用参量声阵列造出可闻声的最早报告
- T. Kamakura et al., Electron. Commun. Jpn. 74(9), 76 (1991)：空气中参量声源的辐射特性——虚拟声源列的实测依据
- 参量声阵列扬声器综述（开放获取）：把自解调、虚拟阵列、转换效率一并整理的概观文献
- US 4,823,908 — Directional loudspeaker system (1989)：利用超声载波实现定向声重放的专利
- Nonlinear acoustics — Wikipedia：波形陡化、激波形成、戈尔德堡数的概念整理