定向扬声器的科学 #07 — PAA理论深入：Berktay·Westervelt·KZK

第6篇我们讲到了空气会自行解调声音这一事实。本篇讨论支配该现象的数学——Berktay远场解、Westervelt方程、KZK方程。不必害怕。目标不是推导，而是读懂每个公式究竟是回答什么问题的工具。而且本篇还要再进一步：把真实数值代入这些公式，直接算出40kHz载波究竟能产生多大的声音。

空气所做的运算 — E²与两次微分

非线性空气对超声波所做的事，出人意料地可以归结为两步数学。

1. 平方定律（E²） — 被强能量改变了性质的空气，响应的是超声信号包络（Envelope）的平方。
2. 二阶导数（∂²/∂t²） — 并产生与该平方包络的加速度（对时间求两次导）成正比的声压。

结果：空气把超声波的包络平方后微分两次，再现出可听声波。自然界俨然像一台模拟计算机。

为什么偏偏是"平方"和"两次微分"？空气的状态方程并不给出压力与密度之间完美的直线关系。把这一偏差按压力展开成级数，一阶项之后就出现与压力平方成正比的项，把其系数打包起来的就是非线性系数β（空气β ≈ 1.2）。既然产生声音的正是这第二项，那么解调声的根源从一开始就必然是平方。另一方面，非线性项在空气中造出的是分布式声源（source），而波动方程会以对时间求两次导的形式把该声源还原为声压。简言之，平方来自介质的性质，二阶导数来自波动方程的结构。

Berktay远场解 — 工程师的公式

把上述观察定量化的，就是1965年的Berktay远场解（Far-field Solution）。只需记住两个核心结论。

• P_d(t) ∝ −∂²/∂t² E²(t) — 远场还原出的可听声压，与超声包络平方的二阶导数成正比。这个式子准确告诉你"什么会变得可听"。
• P_d ∝ P₀², P_d ∝ 1/α — 可听声与超声声压的平方成正比，与吸收系数α成反比。超声打得越强，声音就以平方增大；吸收越大，虚拟阵列越短，声音越小。

把比例号换成等号即为下式。半径为a的圆形声源在轴上距离r处产生的解调声压为

P_d(r, t) = β · a² · P₀² / (16 · ρ₀ · c₀⁴ · α · r) × ∂²/∂t² [ E²(t − r/c₀) ]

符号含义：β为非线性系数（空气1.2），ρ₀为密度（1.21kg/m³），c₀为声速（343m/s），α为载波的吸收系数（Np/m），P₀为声源面超声声压，a为声源半径。有两点值得注意。分母中有c₀的四次方，仅凭这一项就解释了为什么空气（343m/s）比水（1,500m/s）在换能上有利得多。而吸收系数α位于分母——吸收通常是损耗，但在这里它决定了产生声音那一段的长度，因此吸收越小反而声音越大。

这个式子同时也是设计工具。既然听到的是包络的平方，就意味着把输入信号原样加载就会产生失真，因此必须预先对信号做校正（预处理）——这一主题将在第13、14篇的调制与信号处理中再次出现。

把数字代进公式

抽象的比例式让人没有感觉。我们代入实际数值。条件为：直径100mm（a = 50mm）圆形阵列、载波40kHz、声源面超声声压130dB SPL（63.2Pa）、调制指数m = 1的单音、观测距离1m。吸收系数按国际标准计算式（20℃·湿度50%·1个大气压）在40kHz为1.32dB/m = 0.152Np/m。以下数值均按幅值计算（换算为有效值时一律降低3dB）。

可听频率	解调声压	声压级（1m）	每倍频程之差
200Hz	0.0009Pa	33.4dB	基准
500Hz	0.0058Pa	49.3dB	+12dB/倍频程
1kHz	0.0233Pa	61.3dB	+12dB
2kHz	0.0932Pa	73.4dB	+12dB
4kHz	0.3728Pa	85.4dB	+12dB

从表中可以读出三点。

• 转换效率很低 — 发射130dB的超声，在1kHz上得到的是61dB。以声压计约为1/2,700。既然产生声音的不是振膜而是空气的二次项，这就是无可避免的代价。
• 斜率恰为每倍频程12dB — 二阶导数以频率的平方（ω²）起作用，故20log₁₀(2²) = 12.04dB。第2篇所说"低频弱"这一局限的准确出处正是此项。降到100Hz，相对1kHz还要再掉40dB。
• 载波提高6dB，声音就大12dB — 因为P_d ∝ P₀²。这意味着提升输出最有效的旋钮是载波声压，但超声暴露建议标准与换能器的耐受上限决定了这个旋钮的上限。

调制指数就是失真率

Berktay式的厉害之处在于让人可以用手算出失真率。设包络为E(t) = 1 + m·cos(ωt)，平方后得

E² = (1 + m²/2) + 2m·cos(ωt) + (m²/2)·cos(2ωt)

再对时间求两次导，基波项为2m·ω²，二次谐波项为(m²/2)·(2ω)² = 2m²·ω²。二者之比简单得惊人。

二次谐波 / 基波 = m

调制指数即二次谐波比例。信号加载得越大，失真就如实地随之而来。

调制指数 m	二次谐波比例	电平差	总谐波失真（按全信号计）
0.2	0.20	−14.0dB	19.6%
0.5	0.50	−6.0dB	44.7%
0.8	0.80	−1.9dB	62.5%
1.0	1.00	0dB	70.7%

普通扬声器连THD 1%都要被挑剔，而这里满调制下会出现70%。不是元件不好，而是原理如此。因此实务中的解法不是换元件，而是把式子反过来先解一遍。给要发送的包络预先开平方，做成E(t) = √(1 + m·s(t))，那么空气做平方的瞬间平方根被抵消，得到E² = 1 + m·s(t)，二次谐波在原理上归零。这正是预失真（pre-distortion）在这项技术中不是选项而是必备部件的原因。

虚拟阵列有多长

Berktay式要成立，超声波束必须像"细而直的管子"一样前进，声音沿这根管子一点点累积。这根虚拟的管子称为端射阵列（end-fire array）。其长度由两个值中较短者决定。

• 吸收长度1/α — 载波衰减到1/e的距离。40kHz·20℃·50%RH下约6.6m。若为25kHz则为11.9m，100kHz则缩短到2.7m。
• 瑞利距离R₀ = πa²/λ — 近场结束、波束开始扩散的位置。直径100mm·40kHz下约0.92m。

比较两值可知，在此设定下即使波束已开始扩散，声音仍会继续产生相当长一段距离。因此实际定向扬声器的虚拟声源在扬声器前方数米区间内长长地分布。"声音不是从扬声器出来，而是从空气柱出来"这句话之所以不是比喻，原因就在这里。

还有一个判定非线性是否胜过吸收的无量纲数。戈德堡数（Gol'dberg number）Γ是激波形成距离与吸收长度之比，Γ > 1时非线性效应先显现。在上述条件（40kHz、130dB）下激波形成距离为2.56m，Γ ≈ 2.6。若把载波降到120dB，Γ降至约0.81，吸收先取胜——仅这一个数字就说明：声压若不提得足够高，参量阵列根本无法工作。

三个方程的关系 — 母式、摘要、精密工具

• Westervelt方程 — "母方程"：描述超声波在传播中经历的一切非线性变化。精确，但计算极重，常需超级计算机级的运算。
• Berktay解 — "实用近似式"：在远场条件下把Westervelt方程简化求解的摘要版。实际产品设计现场主要使用它。
• KZK方程 — "精密分析工具"：Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov。同时考虑衍射·吸收·非线性三大要素。精密仿真波束图样时使用的工具。

更准确地说，三者的关系是：KZK是对Westervelt施加抛物近似（parabolic approximation）的结果。假定波束沿轴向变化快、沿横向变化慢，从而仅用拉普拉斯算子的横向分量处理横向衍射。得益于这一假定计算量大幅下降，代价是对偏离轴线较大的方向（大致20°以上）预测精度下降。Berktay解则更进一步，认定波束不扩散，只保留轴上远场。

区分	Westervelt	KZK	Berktay远场解
涵盖的物理	非线性·吸收·衍射（全方向）	非线性·吸收·衍射（轴附近）	仅非线性·吸收
核心假定	到二阶非线性为止	抛物近似	波束不扩散 + 远场
有效角度	无限制	距轴大致20°以内	轴上
计算成本	极大（三维数值解析）	中等（沿传播方向行进法）	可手算
主要用途	理论完备性·验证	波束图样·近场预测	输出·失真估算，预处理设计

三者不是竞争关系，而是分辨率不同的地图。快速估算用Berktay，精密验证用KZK，理论完备性用Westervelt——实务就是这样使用的。随着在时域求解KZK的数值方法在1980至90年代成型，如今在个人工作站上也能做波束图样仿真了。

从频谱重新看可听声的产生

把1kHz的语音对40kHz载波做幅度调制（AM），频域中会出现三个峰——载波40kHz、下边带（LSB）39kHz、上边带（USB）41kHz。第6篇所讲"f1与f2的相互作用"的一般形式正是如此。空气的非线性混频产生相邻成分之间的差频（1kHz），它就成为我们听到的声音。时域（包络的平方与微分）与频域（边带的差频）是同一现象的两种表述。

从频域看，上一节的失真也立刻得到解释。40kHz与41kHz混合产生1kHz的同时，39kHz与41kHz也混合产生2kHz。这个2kHz正是二次谐波。两个边带的幅度各为载波的m/2，相乘则正比于m²/4；而载波与边带之积正比于m/2。取比值又得到m——与时域计算完全相同的答案。

Berktay解不适用之处 — 局限与常见误解

• 仅限远场 — 该式描述的是虚拟阵列结束之后。用它计算扬声器眼前（瑞利距离以内）的声压会比实际高估。近场预测是KZK的职责。
• 仅限轴上 — 它不告诉你波束宽度或向旁边泄漏的量。对"可听声的指向性为何比载波更宽"这类问题无法作答。
• 不知道饱和 — P_d ∝ P₀²并非无限成立。载波足够强时，超声波自身会把能量泄漏到谐波而饱和，此后即使提高载波，可听声也不再成比例增大。戈德堡数远超1的区域尤其如此。
• "既然是非线性就能造出任何声音"的误解 — 被造出来的只有本已载于包络中的成分及其组合。不存在的信息不会凭空产生。
• "只在空气中才发生的现象"的误解 — 这套理论本来就是为水下声呐而创立的。水的β大到3.5，但c₀高出四倍以上，因c₀⁴项而换能效率较低；作为交换，吸收小得多，虚拟阵列可延长到数十至数百米。同一个式子、不同的常数、截然不同的设计结论。

小结

PAA理论的骨架就是三句话。空气把强超声波的包络平方后微分两次让我们听见（Berktay）。整个非线性过程的完整描述由Westervelt方程承担。涵盖衍射、吸收的精密仿真交给KZK。再加上本篇得到的数字——每倍频程12dB的低频不足、与调制指数等大的二次谐波、载波每6dB带来可听声12dB、6.6m长的虚拟阵列——这项技术的设计余地究竟在哪里就一目了然了。下一篇，我们将进入把这样产生的声音瞄准目标方向的技术——相控阵与波束成形。

系列导读

《定向扬声器的科学》按以下顺序连载。

1. 什么是定向扬声器 — 声音的手电筒
2. 把声音载入听不见的声音 — 工作原理第一步
3. 定向扬声器应用案例 — 展览·安全·零售·办公
4. 什么是超声波 — 定义·种类·传播特性
5. 为什么是超声波 — 产生原理与应用地图
6. 空气变成扬声器的魔法 — PAA非线性声学
7. PAA理论深入 — Berktay·Westervelt·KZK（本篇）
8. 后续：波束成形、压电换能器、奈奎斯特、调制、信号处理

本系列由笔者亲自研究、整理超声定向声学技术的自制讲义改编为博客形式，图片摘自该讲义。

参考资料

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• H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965)：本文远场解P_d ∝ ∂²/∂t²E²的原典
• H. O. Berktay & B. V. Smith, "End-fire array of virtual sound sources arising from the interaction of sound waves," Electron. Lett. 1(6), 202 (1965)：虚拟端射阵列概念的原典
• S. I. Aanonsen, T. Barkve, J. N. Tjøtta & S. Tjøtta, "Distortion and harmonic generation in the nearfield of a finite amplitude sound beam," JASA 75(3), 749 (1984)：KZK方程的代表性数值解析——近场失真与谐波产生
• Y.-S. Lee & M. F. Hamilton, "Time-domain modeling of pulsed finite-amplitude sound beams," JASA 97(2), 906 (1995)：时域KZK解法——当今波束仿真的标准方法
• Yu. Kostin & G. Panasenko, "Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov-Type Equation: Nonlinear Acoustics in Heterogeneous Media," SIAM J. Math. Anal. 40(2), 699 (2008)：KZK型方程的数学地位——抛物近似的推导与有效范围
• M. F. Hamilton & D. T. Blackstock (eds.), Nonlinear Acoustics (Springer, 2024)：非线性系数β、激波形成距离、戈德堡数Γ的定义——本文Γ ≈ 2.6计算的依据
• M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：空气中参量扬声器的最早实现实验
• W.-S. Gan, J. Yang & T. Kamakura, "A review of parametric acoustic array in air," Applied Acoustics 73(12), 1211 (2012)：整理空气中PAA的理论、实现与失真校正的综述
• H. E. Bass, L. C. Sutherland & A. J. Zuckerwar, "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995)：本文40kHz 1.32dB/m（0.152Np/m）·吸收长度6.6m计算所依据的公式（ISO 9613-1）
• Nonlinear acoustics — Wikipedia：状态方程的二阶项与非线性系数β的概览