第6、7篇我们学会了让空气产生声音的方法（PAA）。剩下的问题是瞄准——如何把已经形成的波束折向想要的方向？答案不是把扬声器物理转动，而是操纵时间。本篇的主题是相控阵（Phased Array）与波束成形（Beamforming）。而且本篇不会只用文字讲规则，而是代入40kHz这个真实载波，算出阵元间距4.3mm这个数字究竟从何而来。
水漂的直觉 — 同时落下就直行，依次落下就转向
往平静的湖面同时投下三块石头，三圈波纹合成的波前会朝正前方前进。这次试着从左边开始依次投下。先产生的波纹已经扩散得更远，晚来的波纹才汇入，因此合成的波前会倾斜着前进。投石的位置没变，波前的方向却变了——这就是波束成形的全部。时间差造出方向。
相控阵 — 时序魔法三步骤
- 相位延迟（Phase Delay） — 对排成一列的阵元施加依次递增的时间延迟后发射。
- 干涉（Interference） — 各阵元的波相互叠加，在特定方向上波峰相遇而增强（相长干涉），在其余方向相互抵消（相消干涉——静默区）。
- 电子扫描（Electronic Steering） — 只要改变延迟模式，波束就向左、向右、向中央移动。这是没有运动部件、仅靠软件改变瞄准方向的"虚拟透镜"。
第2篇预告过的"相位控制"，其实体就是这个。顺带一提，这一原理在雷达和5G天线上也完全一样地使用——只要是波，无论声波还是电波，同一套数学都适用。
扫描角与相位差 — 一个式子就够了
相邻两个阵元发出的波要在角度θ方向上波峰相遇，两波到达该方向的路程差必须被精确补偿。间距为d的两阵元的路程差是d·sinθ，因此所需的时间延迟与相位差为：
Δt = d·sinθ / c ， Δφ = 2π·(d/λ)·sinθ [rad] = 360°·(d/λ)·sinθ
其中c为声速（343m/s），λ为波长。如第1篇所见，40kHz载波的波长为λ = 343 ÷ 40,000 = 8.575mm，一个周期为25μs。若把阵元间距取为半波长4.29mm，上式便简化为Δφ = 180°·sinθ。实际数值如下。
| 扫描角θ | 相邻阵元间相位差 | 时间延迟 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 0°（正前方） | 0° | 0μs | 所有阵元同时发射 |
| 5° | 15.7° | 1.09μs | — |
| 10° | 31.3° | 2.17μs | — |
| 15° | 46.6° | 3.24μs | — |
| 30° | 90.0° | 6.25μs | 四分之一周期 |
| 45° | 127.3° | 8.84μs | — |
| 60° | 155.9° | 10.83μs | — |
| 90°（侧向） | 180.0° | 12.50μs | 半个周期——理论极限 |
表中最重要的是最后一行。在d = λ/2下，90°扫描所需的相位差恰好是180°，即半个周期。由于相位超过360°就会绕回，半波长间距意味着能够无相位歧义地指定从0°到90°所有方向的最大间距。后文d ≤ λ/2规则的真身正是这一点。
从实务角度值得注意的是延迟量的大小。30°扫描所需的延迟为6.25μs，若要以1°的分辨率控制它，大致需要0.2μs级的时间分辨率。用数字方式实现，就意味着需要数MHz量级的时序时钟。扫描之所以以数字信号处理而非模拟延迟线为标准，原因就在这里。
阵元间距的规则 — 空间混叠与d ≤ λ/2
然而阵元不能随意摆放。间距太宽就会产生名为空间混叠（Spatial Aliasing）的错觉。
视频里高速旋转的车轮看起来像在倒转，是因为摄像机的帧（采样）跟不上车轮的转动。扬声器阵列完全一样。阵元间距相对波长过宽时，等于对空间做了稀疏采样，于是在非预期的方向上出现幽灵波束。
请设想用旗帜标记山脉的山脊线。只有在山峰之间的谷地也插上旗帜，山脊的形状才能被复原。波也一样：阵元间距d必须在波长的一半（λ/2）以下，才能干净地只形成一个想要的波前。这个d ≤ λ/2是阵列设计的第一规则——想必您也注意到了，它与数字采样的奈奎斯特定理是同一原理（第11篇将正面展开）。
代入数字后，这条规则就成了极其冷酷的约束。40kHz下λ = 8.575mm，所以
d ≤ λ/2 = 8.575mm ÷ 2 = 4.29mm
也就是阵元中心距不得超过4.3mm，同时也意味着阵元本身的直径不得超过4.3mm。要以这个间距填满直径100mm的圆板，一边需要约23个，正方格点约420个，六方密排约490个阵元。阵列设计为何动辄要那么多阵元，答案就在这一行里。
栅瓣（Grating Lobe） — 非预期的虚假声束
违反规则（d > λ/2）时出现的幽灵波束也有名字——栅瓣（Grating Lobe）。它是在瞄准的主瓣（Main Lobe）旁对称出现的假波束，就像用手电筒照墙，却因看不见的镜子把毫不相干的地方也照亮了。在定向扬声器中，栅瓣会造成"旁边的人也听得见"这一致命缺陷，因此在阵元间距设计中必须加以抑制。
栅瓣出现的角度可以精确计算。当主瓣扫描到θ₀时，幽灵波束出现在满足下式的θ处。
sinθ = sinθ₀ ± λ/d （仅当|sinθ| ≤ 1时才实际出现）
从这个式子可以读出，d越小，λ/d越大，直到方程无解。这正是d ≤ λ/2规则的推导。若要把θ₀用到±90°，就需要λ/d ≥ 2，即d ≤ λ/2。反过来，缩小扫描范围就可以放宽间距。条件是d/λ ≤ 1/(1 + |sinθ₀|)，在40kHz下的结果如下。
| 阵元间距d | d/λ | 无栅瓣的最大扫描角 | 设计性格 |
|---|---|---|---|
| 4.29mm | 0.50 | ±90° | 完全自由扫描 |
| 5.14mm | 0.60 | ±41.8° | 室内大范围扫描 |
| 6.00mm | 0.70 | ±25.4° | 几个座位的范围 |
| 6.86mm | 0.80 | ±14.5° | 仅够微调 |
| 8.58mm | 1.00 | 0°（无法扫描） | 固定波束专用 |
表的最后一行尤其重要。间距达到一个波长时，连朝正前方发射都已卡在栅瓣的边界上。若完全不做扫描、只用固定正前方波束，那么撑到d < λ还行；但在那一刻，这个阵列就不再是"相控阵"，而只是把若干个扬声器贴在一起而已。
阵元数所决定的 — 波束宽度与扫描代价
如果说间距决定幽灵波束，那么阵元数决定波束的粗细。均匀驱动、长度为L的线阵所形成的半功率（−3dB）波束宽度遵循下面的近似式。
波束宽度 ≈ 0.886 × λ / L [rad] ≈ 50.8° × λ / L
以d = λ/2填满的阵列有L = N·λ/2，因此λ被约掉，波束宽度变为约101.6° ÷ N。也就是说，仅由阵元数就决定了波束宽度。
| 阵元数N | 阵列长度（4.29mm间距） | 载波波束宽度 | 3m处光斑直径 |
|---|---|---|---|
| 8 | 34.3mm | 12.7° | — |
| 16 | 68.6mm | 6.35° | 33.3cm |
| 32 | 137.2mm | 3.17° | 16.6cm |
| 64 | 274.4mm | 1.59° | 8.3cm |
| 128 | 548.8mm | 0.79° | — |
这与第3篇"5°波束在3m处直径0.26m"的声区计算相衔接。要得到那种程度的波束，按半波长间距计算需要一个轴向上二十几个阵元，阵列的物理长度须达到8~9cm。除了增加阵元之外没有别的办法把波束收窄——孔径就是分辨率。
此外还要付出扫描的代价。把波束折过θ角，从该方向看去阵列的有效孔径会缩小为cosθ倍，因此波束宽度扩大为1/cosθ倍。以N = 32（正前方3.17°）为基准，15°扫描时为3.28°，30°时3.66°，45°时4.49°，60°时6.35°。折到60°，波束就比正前方胖了一倍。许多设计把可扫描范围定在±30~40°，原因正在于此。
旁瓣 — 均匀驱动的代价
即使遵守了所有规则消除了栅瓣，主瓣旁边也总会残留一些小峰。这就是旁瓣（side lobe）。如果说栅瓣是违反规则的结果，那么旁瓣就是所有有限孔径阵列的宿命。作为把阵列骤然截断的矩形窗（所有阵元以相同强度驱动）的代价，第一旁瓣止步于比主瓣低约13dB的水平。无论怎样增加阵元，这13dB都不会改善。
解法不在阵元数，而在幅度加权（amplitude shading）。把边缘阵元驱动得弱一些，使孔径的边界变得平滑，旁瓣就会大幅下降。这是把信号处理中的窗函数原样应用到空间上，代表性数值如下。
| 驱动分布（窗函数） | 第一旁瓣 | 主瓣宽度倍率 | 性格 |
|---|---|---|---|
| 均匀（矩形窗） | −13.3dB | 1.00 | 最大输出·最小波束宽度 |
| Hann | −31.5dB | 1.44 | 均衡型 |
| Hamming | −42.7dB | 1.47 | 泄漏抑制优异 |
| Blackman | −58.1dB | 1.68 | 极端抑制·波束损失大 |
表所讲的是一个明确的交换。把旁瓣从−13dB降到−43dB、下降30dB的代价，是波束胖了1.5倍。而且既然压低了边缘阵元，总输出也会下降。在定向扬声器上还要再加一条——如第7篇所见，可听声与载波声压的平方成正比，因此在载波上为−13dB的旁瓣，到了可听声大致变成−26dB。非线性变换再一次让指向性更加锐利，这是这项技术为数不多的免费礼物。
阵列的几何 — 线阵、方阵、六方
即使阵元数相同，布局不同波束质量也不同。线性（Linear）阵列只能沿一个轴收窄，因此波束呈扇形扩散；矩形（Rectangular）格点能收窄两个轴，但由于行列的规则性会残留旁瓣（side lobe）；六方（Hexagonal）布局能最密地填充阵元，在同样面积上形成最干净的激光型波束。这与蜂巢以最少材料填满最大空间是同一种几何。
六方布局的优势可从两方面定量说明。第一，圆在平面上的填充率从正方格点的π/4 ≈ 78.5%提升到六方布局的π/(2√3) ≈ 90.7%。同样面积能装下约1.15倍的阵元，输出也随之提高。第二，开始出现栅瓣的间距本身在六方布局中更宽裕。幽灵波束出现在阵列格点的倒格子（reciprocal lattice）位置上，而三角（六方）格子的倒格子比正方格子远2/√3 ≈ 1.155倍。按同样的算法，允许完全自由扫描（±90°）的最大间距便从正方格点的0.5λ = 4.29mm提高到六方布局的0.577λ = 4.95mm。在难以把阵元缩到4.3mm的40kHz频段，这0.7mm的余量绝不算小。另外，正方格点会把幽灵波束集中在行列两个方向，六方布局则分散到六个方位，某一方向出现强泄漏的概率也更低。
设计者的两难 — 当4.3mm无法遵守时
现在来看现实。在40kHz谐振的压电元件，其物理尺寸由谐振条件所决定（这是第9、10篇的主题）。广泛使用的40kHz超声元件外壳直径在10mm上下，4.29mm间距在物理上不可能。那会怎么样呢？
把d = 10mm代入前面的式子，λ/d = 0.857，因此即便正前方扫描，sinθ = ±0.857，即在±59.0°处出现栅瓣。把波束折10°，幽灵波束移到−43.1°；折20°，则大步逼近到−31.0°。也就是说，扫描越多，幽灵越靠近主瓣。
不过实际产品之所以还能凑合工作，是有原因的。因为单个阵元本身已经具有指向性。计算直径10mm圆形振动面的指向特性，−3dB波束宽度为52.4°，而在59°方向上已经衰减了14.8dB。阵因子造出的幽灵波束被阵元因子压低了15dB。加之可听声是载波的平方，于是变成−29.6dB，实质上已降到听不见的水平。阵元的物理尺寸部分地拯救了对规则的违反。
当然这只是在正前方附近的情形；扫描角一大，幽灵波束就进入阵元指向性的中央区域，抑制急剧减弱。若要认真实现大角度电子扫描，最终除了把阵元做小别无他途。以半导体工艺直接制作振动膜的压电微机械超声换能器（PMUT）阵列之所以在定向音频研究中反复出现，原因正在这里——把阵元缩到数百微米量级，4.3mm规则才终于能从容遵守。
局限与常见误解
- "做了波束成形声音就变大"的误解 — 波束成形不是产生能量的技术，而是汇聚能量的技术。总辐射功率只与阵元数成正比，轴上声压升高只是把本该散向侧面的能量转向了前方的结果。
- "扫描范围是软件问题"的误解 — 扫描角的上限由阵元间距而非代码决定。d一旦确定，最大扫描角就已经定死了。
- 近场里波束宽度公式不成立 — 上述波束宽度近似式全部以远场（夫琅禾费区）为前提。在第7篇算出的瑞利距离（直径100mm·40kHz下约0.92m）以内，波束反而按孔径尺寸原样前进，扫描也不会如预期那样进行。
- 扫描了载波，可听声的指向性并不会原样跟随 — 可听声是由沿波束分布在数米范围内的虚拟声源产生的。折弯载波波束就要求整根虚拟声源柱一起倾斜，因此扫描角越大，实际可听声的方向与载波瞄准方向之间的误差就越大。
- 阵元个体差异会直接变成旁瓣 — 即使用加权设计到−43dB，若阵元间灵敏度·相位偏差大，实测旁瓣也降不到那个水平。在使用大量阵元的设计中，阵元筛选与逐个校正决定了性能的实际上限。
小结
波束成形是用时间差（相位）造出波前方向的技术，其质量由d ≤ λ/2的间距规则与阵列几何决定。用本篇得到的数字重写一遍——40kHz下间距4.29mm以下，30°扫描需要相邻阵元间6.25μs的延迟，3°波束需要32个阵元与137mm的孔径，均匀驱动的旁瓣为−13dB，若用10mm阵元则在±59°出现幽灵波束——这五个就是阵列设计的坐标。下一篇，我们把视线收窄到单个阵元——把电变成声的心脏，压电效应。
系列导读
《定向扬声器的科学》按以下顺序连载。
- 什么是定向扬声器 — 声音的手电筒
- 把声音载入听不见的声音 — 工作原理第一步
- 定向扬声器应用案例 — 展览·安全·零售·办公
- 什么是超声波 — 定义·种类·传播特性
- 为什么是超声波 — 产生原理与应用地图
- 空气变成扬声器的魔法 — PAA非线性声学
- PAA理论深入 — Berktay·Westervelt·KZK
- 瞄准声音 — 相控阵与波束成形（本篇）
- 后续：压电效应、换能器设计、奈奎斯特、调制、信号处理
本系列由笔者亲自研究、整理超声定向声学技术的自制讲义改编为博客形式，图片摘自该讲义。
参考资料
- P. J. Westervelt, "Parametric Acoustic Array," JASA 35(4), 535 (1963)：超声波束的非线性相互作用产生差频声这一结果的原典——被扫描对象即该波束的本质
- H. O. Berktay, "Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications," JSV 2(4), 435 (1965)：可听声与载波声压平方成正比的关系——旁瓣在可听声中被双倍抑制的依据
- M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：将多个超声阵元排布于平面的最早的空气中参量扬声器实现
- K. Aoki, T. Kamakura & Y. Kumamoto, "Parametric loudspeaker — characteristics of acoustic field and suitable modulation of carrier ultrasound," Electron. Commun. Jpn. (Part III) 74(9), 76 (1991)：阵列型参量扬声器的声场·指向特性实测
- F. J. Harris, "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform," Proc. IEEE 66(1), 51 (1978)：本文旁瓣表（−13.3 / −31.5 / −42.7 / −58.1dB）与主瓣宽度倍率的出处——把窗函数原样用作空间加权
- W. Zhuang et al., "A steerable non-paraxial Gaussian beam expansion for a steerable parametric array loudspeaker," JASA 153(1), 124 (2023)：被扫描的参量阵列的声场模型——扫描角增大时可听声波束与载波瞄准发生偏离的问题
- S. Nakagawa et al., "Beam Steering of Portable Parametric Array Loudspeaker," APSIPA ASC 2019, 1824：小型参量阵列的电子扫描实现与测量
- G. Olszewski et al., "Steerable highly directional audio beam loudspeaker," Interspeech 2005, 137：把超声阵列扫描应用于语音重放的早期案例
- J. Li et al., "Piezoelectric micromachined ultrasonic transducer array for micro audio directional speaker," IEEE ICMA 2013, 450：把阵元缩至微米量级以解除半波长间距约束的PMUT阵列路线
- H. E. Bass, L. C. Sutherland & A. J. Zuckerwar, "Atmospheric absorption of sound: Further developments," JASA 97(1), 680 (1995)：40kHz载波的大气吸收——被扫描波束实际能到达的距离上限
- Phased array — Wikipedia：相位控制扫描与栅瓣条件 sinθ = sinθ₀ ± λ/d 的概览