到目前为止我们都是用系统的眼光观察的——空气生成声音（第6·7篇），阵列负责瞄准（第8篇）。本篇要把显微镜对准单个元件。构成阵列的数百个小部件内部，正是电变成声音的那一瞬间——压电效应（Piezoelectric Effect）。而且本篇同样不会只停留在文字上。为了发出130dB的超声波，振动板究竟要移动多少？要产生这样的位移又需要多少伏特？我们会亲自算出来。因为那个数字本身就解释了下一篇（换能器设计）为什么必须存在。
压电效应——双向工作的晶体
压电陶瓷是一种会因外部激励而打破内部电荷平衡的特殊材料。这种效应在两个方向上都成立。
- 正压电效应（Direct Effect）——施加压力后，晶体内部偶极子（Dipole）的排列发生变化，表面产生电压。打火机点火装置、燃气灶打火、压力与加速度传感器都是这个原理。
- 逆压电效应（Converse Effect）——反过来施加电压，晶体结构会伸长或收缩，产生物理形变。超声波发生器、精密压电马达，以及我们的超声波扬声器都属于这一类。
也就是说，同一种材料既可以做麦克风（正压电），也可以做扬声器（逆压电）。这种对称性并非偶然，而是热力学强制的结果。写出压电方程就会发现，连接形变与电荷的系数在正、逆两个方向上是数值完全相同的同一个 d。连单位都有两副面孔——正方向是每1N力产生的电荷 pC/N，逆方向是每1V电压伸长的长度 pm/V。数字相同，只是解释不同。这一等价关系也正是国际标准（IEEE Std 176）描述压电元件的基本框架。
为什么只有某些晶体是压电体——对称性破缺之处
并非所有晶体都具有压电性。条件简单得出人意料——晶体必须没有对称中心（centre of symmetry）。有对称中心的晶体，一侧被压使阳离子偏移时，另一侧会有同样大小的阴离子朝相反方向偏移，电荷位移正好抵消。无论压得多用力，表面都不会产生电压。
按对称性对晶体分类，可得32个点群。其中没有对称中心的有21个，再去掉因特殊对称组合而使系数全部抵消的一个（立方晶系432群），就剩下20个点群具有压电性。再缩小一步，具有唯一自发极化轴的10个极性点群留了下来，它们仅凭温度变化就能释放电荷，即热释电体（pyroelectric）。而其中自发极化方向可被外电场翻转的子集就是铁电体（ferroelectric），PZT 与 BaTiO₃ 就属于这一类。
这个层级在实务上重要的理由只有一个：只有铁电体才能通过极化（poling）把压电性"制造"进去。像石英那样生来就是压电体的材料无法改变方向；像氮化铝（AlN）那样虽有极性却不是铁电体的材料，除了在沉积时对齐晶轴之外别无他法。相反，PZT 是先烧结成形，之后再用电场赋予其性质。这一差别也正是后文居里温度问题的根源——被赋予的东西，也可能失去。
脉络——从1880年的发现到PZT
压电效应由雅克·居里与皮埃尔·居里兄弟于1880年在电气石和石英上首次观测到。最初的四十年里它只是实验室里的稀奇现象；直到第一次世界大战期间，朗之万（Langevin）把石英片夹在钢块之间做成用于潜艇探测的超声波收发器，它才成为工程。决定性的转折出现在1940年代后期钛酸钡（BaTiO₃）陶瓷的登场：原本要从单晶上切削的材料，变成了可以烧成任意形状、再用电场赋予性质的多晶陶瓷。
随后在1954年，Jaffe 等人发表了锆钛酸铅（PZT）固溶体。在调整锆与钛比例的过程中，两个晶相交汇的特定组分附近，压电常数与介电常数会急剧飙升——这就是准同型相界（MPB, Morphotropic Phase Boundary）。两相共存使极化方向的选择变多，因而对电场的响应容易得多。今天绝大多数超声波换能器仍在使用这一相界附近的组分，而1960年 Berlincourt 等人按组分系统整理的数据，正是今日规格书的原型。
工程师的四个数字——d、g、k、Q
选择元件时要从规格书上读取的参数如下。
- 压电常数（d_ij）——单位电场能产生多大形变的比例常数。电场与形变方向一致的是 d33（厚度振动），垂直的是 d31（横向收缩·膨胀）。下标前者表示电学方向，后者表示机械方向。
- 压电电压常数（g33）——同样的力能产生多大的电压。关系式为 g = d ÷ (ε₀·εr)，介电常数越低该值越大。发射看 d，接收看 g。
- 机电耦合系数（k）——输入能量转换为另一种形式的比例。k² 即转换能量的比例，其余部分并非损耗，而是未经转换又返回的能量。
- 机械品质因数（Q_m）——共振的锐利程度。高 Q_m 在共振时振幅大但带宽窄，低 Q_m 振幅小却能在宽频带上取得平坦响应。强力发射40kHz单一频率的超声波换能器，正是高 Q_m 占优的典型案例。
为什么 d 和 g 都必须看，用数字一比就清楚了。PZT-4 的 d33 高达289pC/N，但介电常数为1,300，g33 只有25.1mV·m/N。相反 PVDF 的 d33 只有33pC/N，不到九分之一，可介电常数仅为12，g33 达311mV·m/N——是 PZT 的12倍。做扬声器 PZT 压倒性占优，做麦克风与水听器 PVDF 更有利，原因就在这一行里。
材料系列比较——用数字看选项
把有代表性的压电材料放在同一把尺子上，设计取舍就一目了然。d33 与介电常数为文献实测值，g33 与 k² 则是用上述关系式直接计算所得。
| 材料 | d33 [pC/N] | 相对介电常数 εr | g33 [mV·m/N] | 耦合系数 k（k²） | Q_m | 居里点·使用上限 | 性格 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 石英（α-quartz） | 2.3 (d11) | 4.5 | 57.7 | 0.10 (1.0%) | 10万以上 | 573℃ 相变 | 超稳定·超低损耗，输出极小——频率基准 |
| BaTiO₃ 陶瓷 | 190 | 1,700 | 12.6 | 0.49 (24%) | 约400 | 120℃ | 第一代陶瓷，因居里温度低而被取代 |
| PZT-4（硬性） | 289 | 1,300 | 25.1 | 0.70 (49%) | 约500 | 328℃ | 大功率·连续驱动——超声波发射的标准 |
| PZT-5H（软性） | 593 | 3,400 | 19.7 | 0.75 (56%) | 约65 | 193℃ | 高灵敏度·宽带，怕发热——接收与医疗用 |
| PVDF（高分子） | −33 | 12 | −311 | 0.19 (3.6%) | 约10 | 80℃ 上下 | 薄且柔软·超宽带，发射功率不足 |
| AlN 薄膜 | 5.15 | 10.5 | 55.4 | 0.23 (5.3%) | 1,000以上 | 无需极化（非铁电） | 兼容半导体工艺·无铅——MEMS·PMUT |
| ZnO 薄膜 | 12 | 10.9 | 124.3 | 0.28 (7.8%) | 高 | 无需极化 | 耦合系数优于 AlN，存在工艺污染问题 |
| KNN 系无铅 | 416 | 1,570 | 29.9 | 0.61 (37%) | 低 | 253℃ | 无铅替代方案，组分重现性仍是课题 |
这张表要读的不是单个数值，而是取舍的结构。第一，d33 与 Q_m 大体呈反向变动。PZT-5H 的形变量是 PZT-4 的两倍，但 Q_m 只有八分之一，连续驱动就会被热击垮。指向性扬声器是要把40kHz连续发射数小时的连续波大功率用途，所以答案不是灵敏度，而是硬性系列（PZT-4·PZT-8）。第二，薄膜系列（AlN·ZnO）的 d33 小了两个数量级，却能用半导体工艺大批量制造数百微米级的元件。正面破解第8篇中4.29mm间距约束的道路就在这里。第三，出于铅管制的趋势，KNN 系无铅陶瓷持续受到研究，但目前仍无法替代硬性 PZT 的 Q_m 与温度裕量。
极化与居里温度——压电性是被制造出来的，也可能失去
代表性压电材料 PZT 陶瓷在刚烧结出来的状态下并没有压电性，因为内部偶极子杂乱无章。数十纳米大小的铁电畴各朝不同方向，整体上相互抵消。必须在制造过程中施加强直流电场，把偶极子对齐到一个方向，即所谓极化（Poling）处理，它才成为压电材料。实务上是在低于居里温度的温度下施加数 kV/mm 量级的直流电场数十分钟，然后在保持电场的状态下冷却。先在畴壁容易移动的温度下对齐，等固定之后再撤去电场。
也有必须注意的界线——一旦加热超过居里温度（Curie Temperature, T_c），晶体会回到具有对称中心的相，排列随之瓦解，压电性永久丧失。不过在实际设计中要小心的并不是 T_c 本身。去极化有三条路径，而这三条都会在远未达到 T_c 之前就开始蚕食性能。
| 去极化因素 | 机理 | 实务基准 | 在指向性扬声器中的风险 |
|---|---|---|---|
| 热（thermal） | 热能扰动畴壁，使排列复原 | 惯例是把连续使用温度定在 T_c 的一半以下——PZT-4 约为160℃ | 数百个元件密集排列的阵列内部温升 |
| 电（electrical） | 与极化方向相反的电场把畴翻转回去 | 驱动电场须低于矫顽场（coercive field），硬性 PZT 约为1kV/mm | 大功率驱动时的反向电压摆幅 |
| 应力（mechanical） | 强压缩与冲击强行改变畴的取向 | 不超过额定压应力，以预压（prestress）避免受拉 | 过度驱动导致的振动板疲劳与开裂 |
在此之上还悄悄叠加了第四个因素——时间。刚极化完成的畴排列处于亚稳态，即使什么都不做，介电常数与压电常数也会随时间的对数缓慢下降。这称为老化（aging），在硬性 PZT 上表现为每十倍时间数个百分点。硬性材料比软性材料老化更慢，也是因为畴壁被牢牢钉扎住——说 Q_m 高与说畴壁不易移动，其实是同一件事。大功率发热的换能器设计中热管理为何如此重要，答案全都汇聚于此。
作为扬声器的工作过程——从电压到声音
- 施加交流信号——把承载音频的40kHz超声波载波电压信号加到元件上。
- 机械振动——逆压电效应使振膜每秒前后振动四万次，推动空气。
- 声波辐射——该振动形成超声波束，经第6篇的非线性相互作用解调出可听声。
- 阻抗匹配——压电元件在电学上是容性负载，频率越高阻抗越低。这正是驱动电路设计中阻抗匹配重要的原因。
究竟要动多少——位移的真实尺度
我们用数字来核对第2步。平面波中声压 p 与介质质点速度 u 由介质的特性阻抗相连（就是第4篇里空气的413 Rayl）。若振动板做简谐运动，位移振幅 ξ 如下。
p = ρc·u , u = 2πf·ξ → ξ = p ÷ (2πf·ρc)
代入40kHz与空气（ρc = 413 Rayl）的结果如下。声压以20μPa为基准换算为dB。
| 表面声压（SPL） | 声压 p [Pa] | 质点速度 u [mm/s] | 所需位移振幅 ξ |
|---|---|---|---|
| 100dB | 2.00 | 4.84 | 19.3nm |
| 110dB | 6.32 | 15.3 | 60.9nm |
| 120dB | 20.0 | 48.4 | 193nm |
| 130dB | 63.2 | 153 | 609nm |
第7篇中把实用参量扬声器的载波声压定为130dB。要发出那样的声音，振动板只需振动0.6μm，即头发丝直径的百分之一。看似微小，问题正是从这里开始的。若直接使用 PZT-4，d33 = 289pm/V，那么产生609nm所需的电压为
V = 609nm ÷ 289pm/V ≈ 2,110V
不可能在巴掌大的扬声器上加2kV。这时共振作为救兵登场。在共振频率驱动时，位移大约被放大 Q_m 倍，因此若是 Q_m = 500 的硬性 PZT，所需电压便降到 4.2V。即使 Q_m = 100，也只要21V。压电换能器无一例外都是共振元件，原因就在这里——这不是选择，而是必然。而一旦使用共振，就失去了带宽。第10篇要处理的全部设计问题，都派生自这一行的取舍。
电路看到的是什么——容性负载
从驱动电路一侧看，压电元件不是电阻，而是电容器。在偏离共振的频段，实际上只看得到钳位电容 C₀，因此阻抗为 |Z| = 1 ÷ (2πf·C₀)。在40kHz下计算如下。
| 钳位电容 C₀ | 40kHz 阻抗 | 用于谐振的调谐电感 | 20V(rms) 驱动时的无功电流 |
|---|---|---|---|
| 1nF | 3,979Ω | 15.8mH | 5.0mA |
| 2nF | 1,989Ω | 7.92mH | 10.1mA |
| 5nF | 796Ω | 3.17mH | 25.1mA |
| 10nF | 398Ω | 1.58mH | 50.3mA |
| 20nF | 199Ω | 0.79mH | 101mA |
这张表对阵列设计的含义相当重大。若单个元件为2nF，那么400个并联的瞬间就是0.8μF，40kHz下的阻抗跌破5Ω。也就是说，不用来发声、只是反复充放电的无功电流会达到数安培量级。因此实际驱动级会把元件分成若干通道，每个通道串联或并联一个电感来抵消电容。表格第三列就是那个数值——2nF的元件组配上7.9mH，40kHz下电抗相互抵消，电路看起来就是阻性的。第8篇说过为了波束转向必须给每个通道单独的相位，而那每一个通道内部，都藏着这样一套谐振匹配电路。
局限与常见误解
- "压电元件很耗电"的误解——压电元件是电压驱动器件。真正化为声音的有功功率很小，让电路吃力的是上表中的无功电流。决定驱动级的不是功率，而是电流能力与压摆率。
- "d33 大就是好扬声器"的误解——在连续大功率下，比 d33 更具支配性的是 Q_m 与介电损耗。d33 大一倍的软性材料先因发热而崩溃是常有的事。
- 压电元件不是线性器件——规格书上的 d33 是弱电场下测得的小信号值。驱动电场变大后畴壁运动加入进来，有效 d33 增大，同时迟滞与谐波失真也增加。在参量扬声器中，这种失真与空气的非线性无法区分，直接表现为音质劣化。
- "到居里温度之前都安全"的误解——实际使用上限在 T_c 的一半附近。而且损耗产生的热又会加大损耗，存在这样的正反馈，冷却不足时局部可能达到 T_c。
- 单个元件绝不可能成为指向性扬声器——正如第1篇的波长与口径比、第8篇的元件数与波束宽度所示，窄波束来自口径。压电效应只负责转换，指向性是由阵列的几何造就的。
小结
压电陶瓷是在力↔电之间双向转换的材料，扬声器使用的是其中的逆压电效应。性能用 d·g·k·Q 四个数字来读，压电性由极化制造，并被热·电场·应力·时间一点点抹去。用本篇得到的数字重述——130dB载波所需的振动是609nm，非共振地实现它需要2,110V，用共振（Q_m = 500）则只需4.2V，2nF元件在40kHz的阻抗是1,989Ω，连续大功率要用硬性 PZT——这就是元件设计的坐标。下一篇我们进入把这个元件做成实际产品换能器的设计——共振结构与排布策略。
系列导航
《指向性扬声器的科学》按以下顺序展开。
- 什么是指向性扬声器——声音的手电筒
- 把声音载在听不见的声音上——工作原理第一步
- 指向性扬声器应用案例——展览·安全·零售·办公
- 什么是超声波——定义·种类·传播特性
- 为什么是超声波——产生原理与应用地图
- 空气变成扬声器的魔法——PAA 非线性声学
- PAA 理论深化——Berktay·Westervelt·KZK
- 瞄准声音——相控阵与波束成形
- 压电效应——电变成声音的瞬间（本篇）
- 之后：换能器设计、奈奎斯特、调制、信号处理
本系列是把自行研究·整理的超声波指向性音响技术自制讲义资料改写为博客形式而成。图片摘自该资料。
参考资料
- B. Jaffe, R. S. Roth & S. Marzullo, "Piezoelectric Properties of Lead Zirconate-Lead Titanate Solid-Solution Ceramics," J. Appl. Phys. 25(6), 809 (1954)：报告 PZT 固溶体与准同型相界的原始论文——今日超声波换能器材料的起点
- D. A. Berlincourt, B. Jaffe & others, "Piezoelectric Properties of Polycrystalline Lead Titanate Zirconate Compositions," Proc. IRE 48(2), 220 (1960)：按组分系统整理 d·k·Q 与介电常数——本文 PZT-4·PZT-5H 系列数值的源流
- R. Bechmann, "Elastic, Piezoelectric, and Dielectric Constants of Polarized Barium Titanate Ceramics," JASA 28(3), 347 (1956)：第一代陶瓷 BaTiO₃ 的压电·介电常数实测——表中 BaTiO₃ 行的依据
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- P. Muralt, "Piezoelectric aluminum nitride thin films for microelectromechanical systems," MRS Bulletin 37(11), 1051 (2012)：无需极化的非铁电压电薄膜特性与 MEMS 应用综述
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- T. E. Gómez Álvarez-Arenas, "Acoustic impedance matching of piezoelectric transducers to the air," IEEE TUFFC 51(5), 624 (2004)：压电陶瓷与空气之间巨大的阻抗落差及匹配层——延续到第10篇的问题
- M. Yoneyama et al., "The audio spotlight: An application of nonlinear interaction of sound waves to a new type of loudspeaker design," JASA 73(5), 1532 (1983)：把压电超声波元件平面排列而成的最早的空气中参量扬声器
- J. Li et al., "Piezoelectric micromachined ultrasonic transducer array for micro audio directional speaker," IEEE ICMA 2013, 450：用半导体工艺阵列化薄膜压电体的 PMUT——破解元件尺寸约束的路径
- Piezoelectricity — Wikipedia：32个点群中压电20个·极性10个的对称性分类，以及居里兄弟1880年发现经过的概览