第9篇我们看了单个压电元件把电变成声音的原理，并在最后留下了一个令人不安的数字——要发出130dB，非共振驱动需要2,110V，而用共振只需4.2V。本篇讲的正是如何设计那个共振。要回答两个问题——如何把单个元件做得更好（结构设计），以及把多少个、怎样汇集起来（排布设计）。
共振既是祝福也是诅咒——Q 决定什么
压电换能器在共振频率上振动得最剧烈。这是祝福。把声音推进空气这种极轻的介质本来就极其低效，而共振能把振幅提高数百倍。同时它也是诅咒——共振越尖锐，可用的频率宽度就越窄。衡量这种尖锐程度的刻度就是品质因数 Q，定义很简单。
Q = 共振频率 f₀ ÷（振幅下降 −3dB 的两点之间的宽度 Δf）
把这一行代入40kHz，设计的第一堵墙立刻出现。载波上载入音频后占用带宽变成载波 ± 音频最高频率（第2篇），因此能承载的音频上限是带宽的一半。
| 品质因数 Q | 40kHz 下的 −3dB 带宽 | 可承载的音频上限 | 实际用途 |
|---|---|---|---|
| 500 | 80Hz | 40Hz | 实质上是单一音调——测距传感器 |
| 200 | 200Hz | 100Hz | 仅限开/关信号 |
| 40 | 1.0kHz | 500Hz | 勉强发出蜂鸣 |
| 20 | 2.0kHz | 1.0kHz | 语音清晰度不足 |
| 10 | 4.0kHz | 2.0kHz | 低音质语音 |
| 5 | 8.0kHz | 4.0kHz | 可听懂的语音 |
| 2.5 | 16.0kHz | 8.0kHz | 广播通告级别 |
换能器设计的根本矛盾就在这里。第9篇的计算说Q 必须高，才能用实用电压得到130dB；而这张表说Q 必须低，人的话语才载得上去。要承载语音广播所需的8kHz，Q 必须在2.5以下，可那样一来振幅放大消失，驱动电压又回到数百伏。在何处妥协这一矛盾，就是换能器设计本身。实际用于参量扬声器的元件大体把 Q 放在10~30附近，不足的带宽用信号处理（第12·13篇的调制与均衡）来补。
厚度决定频率——以及40kHz的悖论
共振频率从何而来？最基本的厚度方向共振发生在板的上下表面自由、厚度等于半波长的条件下。
t = c ÷ (2·f₀)，其中 c 是该材料内部的纵波速度
把 PZT 的厚度模式声速取为4,600m/s，计算结果如下。
| 目标共振频率 | 所需 PZT 板厚 t = c/2f | 现实性 |
|---|---|---|
| 5MHz | 0.46mm | 医用超声——常规 |
| 1MHz | 2.30mm | 清洗·加工用——常规 |
| 200kHz | 11.5mm | 虽厚但可行 |
| 40kHz | 57.5mm | 不可能——单个元件有成人拳头那么大 |
这就是40kHz的悖论。第8篇我们得出元件直径必须在4.29mm以下的结论，可若直接采用厚度共振，单个元件光厚度就是57.5mm，相差十倍以上。频率越低压电板越厚，越厚阵列就越不可能。
解法是改变模式。不用厚度振动，而是让薄金属圆板弯曲（弯曲模式，flexural）来振动。边缘固定的薄圆板的一阶弯曲共振近似遵循下式。
f₀ ≈ 0.4694 × (t / a²) × √(E / (ρ(1−ν²)))，t 为板厚，a 为半径
黄铜板（E = 100GPa，ρ = 8,500kg/m³，ν = 0.35）的材料常数为3,662m/s。用该值反推出40kHz所对应的尺寸如下。
| 金属圆板厚度 | 对应40kHz的半径 | 圆板直径 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 0.05mm | 1.47mm | 2.93mm | 太薄难以操作 |
| 0.10mm | 2.07mm | 4.15mm | — |
| 0.20mm | 2.93mm | 5.86mm | 实用区间 |
| 0.30mm | 3.59mm | 7.18mm | 含外壳约10mm |
原本57.5mm的尺寸缩到了6mm上下。弯曲模式不是把板拉伸而是让它弯曲，因此在低得多的频率上共振，也就能用很小的部件产生低频。市面上的40kHz超声波元件之所以是把压电板贴在薄金属圆板上的单晶片（unimorph）结构，原因正在于此。第8篇说过"常用的40kHz元件外壳直径在10mm上下"，那个数字的根源就在这里——6mm的圆板加上支撑环与外壳，差不多就是那么大。
共振结构设计——打磨单个元件的三种手法
窄共振的局限不是靠材料，而是靠几何去跨越。实务中使用的三种变化如下。
- 双连接振膜（Double Linked Diaphragm）——由杆（Rod）连接的两片振膜产生两个不同的共振频率，拓宽两个峰之间的有效带宽。把前表中 Q = 20 的两个元件相隔1kHz叠加，就能得到单峰无法给出的平坦区间。
- 径向锥（Radial Cone）——在金属振膜上加装锥形结构以调节振动模式，并扩大辐射面积，把声音送得更响。它起的是阻抗变换器的作用，把小振膜的大位移搬到大面上。
- 微织构辐射板（Micro-textured Plate）——辐射板表面的细微起伏可缓解不希望出现的变形振动，改善指向特性。弯曲模式会在板上形成节点与波腹，节点附近相位一旦翻转，那就直接成为旁瓣。
用等效电路读换能器——BVD 模型
要定量处理设计，就得把机械振动搬到电路上。1928年 Van Dyke 提出的 BVD（Butterworth-Van Dyke）等效电路就是这个标准工具。压电谐振子可表示为两条支路的并联。
钳位电容 C₀ ∥（机械支路：L₁ − C₁ − R₁ 串联）
其中 C₀ 是第9篇看到的纯电学电容，而 L₁·C₁·R₁ 则是机械量的翻译——L₁ 是振动质量，C₁ 是刚度的倒数（柔顺度），R₁ 是损耗（内摩擦＋向空气辐射的辐射阻）。这个电路强大之处在于仅凭测量就能反推物理量。用阻抗分析仪读出串联共振 f_s（阻抗最小）与并联共振 f_p（阻抗最大），就能得到：
k_eff² = (f_p² − f_s²) ÷ f_p² , C₁ = C₀·((f_p/f_s)² − 1) , L₁ = 1 ÷ ((2πf_s)²·C₁) , R₁ = 2πf_s·L₁ ÷ Q
我们用可实测的数值做个例子。若元件的 f_s = 40.0kHz、f_p = 41.0kHz、C₀ = 2nF，计算结果如下。
| 项目 | 计算式 | 数值 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 有效耦合系数 k_eff | √(1 − (f_s/f_p)²) | 0.220（k² = 4.82%） | 远低于材料 k（0.7）——结构损耗 |
| 机械支路电容 C₁ | C₀·((f_p/f_s)²−1) | 101pF | C₀/C₁ = 19.8——电学一侧占20倍优势 |
| 机械支路电感 L₁ | 1/((2πf_s)²C₁) | 156mH | 等效质量——该值越大越重越慢 |
| 损耗电阻 R₁（Q = 20） | 2πf_s·L₁/Q | 1,965Ω | 带宽2.0kHz——语音的下限 |
| 损耗电阻 R₁（Q = 100） | 2πf_s·L₁/Q | 393Ω | 带宽400Hz——仅限音调 |
这张表最重要的是第一行。材料本身的 k 是0.7（第9篇的表），可在成品元件上测得的有效耦合系数降到了0.220。压电板与金属圆板、粘接层、外壳一起运动时，储存在非压电部分的能量就增加了那么多。设计者真正对抗的对手不是材料的理论值，而是这种结构损耗。还有一点——C₀/C₁ 等于19.8意味着电学上注入的能量大部分只是在电容里来回晃荡，第9篇之所以说必须用电感抵消 C₀，理由就写在这个比值里。更精密的设计会使用把多层结构与匹配层都按分布参数处理的 KLM 模型（1970年），但出发点永远是这四个元件。
夺回 −43dB——匹配层设计
现在来解第5篇留下的作业。压电陶瓷的声阻抗约为3.3×10⁷Rayl，空气为413Rayl。两种介质直接接触时透过的声能比例为
T = 4·Z₁·Z₂ ÷ (Z₁ + Z₂)² = 4 × 3.3×10⁷ × 413 ÷ (3.3×10⁷ + 413)² = 5.01×10⁻⁵
即 0.005%，−43.0dB。一万份里连一份都出不去。这就是第5篇所说 −43dB 的真面目。解决办法与光学的减反射镀膜同理——插入一层具有中间阻抗的 1/4波长匹配层（matching layer）。当厚度恰为该层内部的 λ/4 时，层前后反射的波相差半个周期而相互抵消，透过率达到最大。理想阻抗是两者的几何平均。
Z_m = √(Z_压电 × Z_空气) = √(3.3×10⁷ × 413) = 116,700Rayl（0.117MRayl）
问题在于这个值低得离谱。水是1.5MRayl，橡胶约1MRayl，而它还要比橡胶轻十倍。我们计算了用现实存在的材料能夺回多少（单层，以中心频率计）。
| 匹配层材料（示例） | 阻抗 Z_m | 透过率 T | dB | 相对无匹配的改善 |
|---|---|---|---|---|
| 无（直接辐射） | — | 0.005% | −43.0dB | 基准 |
| 环氧＋空心微球 | 1.50MRayl | 2.39% | −16.2dB | +26.8dB |
| 硅橡胶 | 1.00MRayl | 5.31% | −12.8dB | +30.2dB |
| 多孔聚合物 | 0.30MRayl | 45.7% | −3.4dB | +39.6dB |
| 理想匹配层（理论） | 0.117MRayl | 100% | 0dB | +43.0dB |
从表中可见，只要降到0.3MRayl就有 −3.4dB，即接近一半得以通过。接近40dB的改善，意味着一层匹配层能把换能器效率改变一万倍。只是要得到这么低的阻抗，材料必须做得极轻（气凝胶·发泡体·空心微球填充），而这类材料通常损耗大、怕潮气、力学上很脆。因此实务中采用分级降低阻抗的多层构成。用二项式解算出的理想值，两层为0.766MRayl与0.018MRayl，三层为1.96 / 0.117 / 0.0069MRayl——层数越多最后一层就必须越轻，这一事实道出了该技术的根本困难。
厚度同样不容小觑。λ/4 要用该层材料的声速计算，因此在40kHz下，声速400m/s的多孔层需要2.5mm，声速150m/s的发泡体需要0.94mm。元件直径只有6mm，匹配层却要2.5mm，等于部件的一半是匹配层。而且1/4波长条件只在一个频率上精确成立，所以一用匹配层，带宽又被压窄一次。
背衬——花钱买带宽
压电板背后放什么同样是设计。背面是空气时向后逸出的能量几乎为零，效率最高，但振动久久不息，Q 高而带宽窄。若在背面贴上掺钨粉环氧之类的吸声背衬，振动迅速衰减，Q 下降带宽变宽，但相应的能量也从背面漏走。极端情况下把背衬阻抗做得与压电体相同，则一半能量向后，要付出 −3dB 的代价。1966年 Kossoff 的经典研究整理的正是这一取舍。医疗与无损检测用的脉冲换能器以短脉冲为生命，故采用厚背衬；而指向性扬声器以连续波最大输出为目的，几乎不用背衬。这是同一个部件因用途不同而被反向设计的典型之处。
变幅杆——用几何放大振幅
另一项经典手法是变幅杆（horn）。把截面逐渐缩小的金属棒接在谐振子上，由能量守恒，变窄一侧的振动振幅会变大。阶梯式变幅杆的理论振幅增益等于截面积比，直径比2:1即4倍（+12.0dB），3:1即9倍（+19.1dB）。但这种增益是在小面上获得大振幅，辐射面积因此变小，指向性反而变差（第1篇的波长与口径比）。所以大功率超声加工以变幅杆为标准，而需要宽口径的指向性扬声器则选择相反的、扩大面积的径向锥。同样的物理，用在哪个方向的差别而已。
为什么要汇集成阵列——优点与代价
单个元件成不了指向性扬声器。如前所算，40kHz元件直径为6~10mm，按第1篇的波长与口径比来看，这样的口径对8.6mm波长几乎是无指向的。把数百个排成阵列，所得与所付都很明确。
- 所得——①数百个元件能量合成后的强大声压（跨过引发非线性效应门槛的钥匙），②大孔径带来的精细波前与直进性（D ≫ λ），③第8篇看到的相位控制波束转向。
- 所付——①零件·组装·焊接工序成本大幅上升，②大电流驱动、信号处理与散热管理纠缠在一起的电路复杂度（回想第9篇的无功电流表，400个并联就是0.8μF），③与阵列规模成正比的尺寸与重量。
数量的力量——20log(N) 与六角环
把 N 个元件聚在一起，轴上声压会升高多少？如果所有元件以相同相位振动，轴线上声压（振幅）就正好是 N 倍。重要的是这里是振幅为 N 倍，而非能量。
轴上声压增益 = 20·log₁₀(N) [dB]，总辐射功率增加 = 10·log₁₀(N) [dB]
两式之差 10·log₁₀(N) 就是指向性增益——把本该散向侧面的能量拢向正前方的那一份（这正是第8篇"波束成形不是制造能量而是汇聚能量"那句话的公式）。以单个元件在20m处产生19.6dB来计算如下。元件数按六角密排的环数 n 以 3n(n+1)+1 增长。
| 六角环数 | 元件数 N | 轴上增益 20log(N) | 20m 处声压 | 10mm 间距时阵列宽度 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0dB | 19.6dB | 10mm |
| 1 | 7 | +16.9dB | 36.5dB | 30mm |
| 2 | 19 | +25.6dB | 45.2dB | 50mm |
| 3 | 37 | +31.4dB | 51.0dB | 70mm |
| 5 | 91 | +39.2dB | 58.8dB | 110mm |
| 7 | 169 | +44.6dB | 64.2dB | 150mm |
以20m距离为基准，单个元件为19.6dB——实际上听不见。19个则为45.2dB，超过安静房间的水平；91个则为58.8dB——已接近日常对话（70dB）的传达力。第1篇所说"数十米外依然清晰的声音"，归根结底是要用足够数量的元件按正确几何排列才成立的数字。表中还应一并读取的是最后一列——把91个元件以10mm间距六角排布，阵列宽度就是110mm。正如第8篇所算，只有这样的口径才能收窄载波波束，第7篇的瑞利距离也随之延长到1m附近。也就是说，声压与指向性由同一个尺寸同时决定。
另外，20log(N) 只是理想上限。元件间共振频率若离散±1%，相位就对不齐，合成不再完美，增益也相应被削减。这正是大批量元件阵列中筛选分档（binning）实质上成为必备工序的原因。
设计者的综合——一只40kHz换能器是怎样诞生的
把至此的决定按顺序排列，就成了实际的设计流程。
- ① 选择模式——40kHz的厚度共振为57.5mm，不可行；走薄金属板弯曲模式。
- ② 确定尺寸——0.2mm厚黄铜板，半径2.93mm（直径5.9mm），含外壳约10mm。
- ③ Q 目标——由所需音频带宽反推。2kHz语音需 Q ≤ 10，实际在 Q 10~30 妥协，不足部分交给信号处理。
- ④ 正面·背面处理——用匹配层把 −43dB 恢复到 −3~−16dB 区间，同时把带宽进一步变窄计入③的预算；因以连续波最大输出为目的，背衬保持最小，但要确保散热路径。
- ⑤ 电学匹配与阵列——用电感抵消 C₀（第9篇的表），再由目标声压反推 N（20log N）、由目标波束宽度反推口径（第8篇），两者中较大的一方决定阵列尺寸。
从顺序即可看出，这个设计里几乎没有自由变量。载波频率一旦定为40kHz，元件尺寸随之确定；元件尺寸确定后又与第8篇的间距规则冲突；而带宽要求则通过 Q 与输出冲突。
局限与常见误解
- "好换能器就是灵敏度高"的误解——在参量扬声器中，决定音质的是带宽与失真而非灵敏度。元件非线性产生的谐波会与空气的非线性混为一体，被解调成噪声。
- "贴匹配层必然获益"的误解——匹配层以带宽换效率，而层材料的内部损耗又会吃掉一部分收益。越是轻质高损耗的材料，这种抵消越大。
- "背衬越厚越好"的误解——背衬是卖出输出以买入带宽的交易。在连续波用途下大多是亏本的。
- 增加元件数并不会改善音质——数量只改变声压与波束宽度，带宽与失真仍保持单个元件的特性。凑齐100个，各自发不出的频率依旧发不出来。
- 并非所有元件都相同——共振频率与灵敏度的个体差异会同时瓦解 20log(N) 的理想合成与第8篇的旁瓣设计。大规模阵列的实质性能上限通常就在这里被决定。
小结
换能器设计分两层。元件层用模式（厚度 vs 弯曲）·Q·匹配层·背衬来交换带宽与效率；系统层以成本·复杂度·尺寸为代价买入声压与瞄准能力。用本篇的数字重述——40kHz的厚度共振是57.5mm因而不可行，改走弯曲模式则是0.2mm板·直径5.9mm，无匹配为−43dB而0.3MRayl匹配层可达−3.4dB，要承载8kHz语音需Q ≤ 2.5，91个六角阵列在20m处为58.8dB——这就是换能器设计的坐标。硬件的故事到此结束——从下一篇起我们进入数字的世界。第一道关卡是把模拟声音变成数字的规则，奈奎斯特定理。
系列导航
《指向性扬声器的科学》按以下顺序展开。
- 什么是指向性扬声器——声音的手电筒
- 把声音载在听不见的声音上——工作原理第一步
- 指向性扬声器应用案例——展览·安全·零售·办公
- 什么是超声波——定义·种类·传播特性
- 为什么是超声波——产生原理与应用地图
- 空气变成扬声器的魔法——PAA 非线性声学
- PAA 理论深化——Berktay·Westervelt·KZK
- 瞄准声音——相控阵与波束成形
- 压电效应——电变成声音的瞬间
- 超声波换能器设计——共振与排布（本篇）
- 之后：奈奎斯特、调制、信号处理
本系列是把自行研究·整理的超声波指向性音响技术自制讲义资料改写为博客形式而成。图片摘自该资料。
参考资料
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- R. Krimholtz, D. A. Leedom & G. L. Matthaei, "New equivalent circuits for elementary piezoelectric transducers," Electronics Letters 6(13), 398 (1970)：把匹配层与背衬也按分布参数处理的 KLM 模型——多层换能器设计的标准工具
- G. Kossoff, "The Effects of Backing and Matching on the Performance of Piezoelectric Ceramic Transducers," IEEE Trans. Sonics Ultrason. 13(1), 20 (1966)：整理背衬与匹配层如何交换灵敏度与带宽的经典——本文背衬一节的依据
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