定向扬声器的科学 #13 — 定向扬声器的调制策略：谐振与 PWM

这是第12篇预告的判定战。AM·FM·PWM三种调制方式在指向性扬声器这个特殊的擂台上各自得到怎样的判决——我们从理论（Berktay）与硬件（换能器谐振）两面来考察。先说结论：胜者是"以AM设计、以PWM驱动"的两段式策略。

FM的淘汰——数学下达的判决

再次搬出第7篇的Berktay法则——空气复原的声音是P_aud(t) ∝ ∂²/∂t² [E(t)]²，即包络E(t)的平方求两次微分。然而FM信号的振幅是常数。常数求微分永远为0——理论上FM信号在空气中不能产生任何声音。

可是在实验室里发射FM，确实能听到声音。为什么？不是因为空气解调了它，而是因为换能器把FM强行转换成了AM（Slope Detection）。当频率在换能器狭窄谐振曲线的陡坡上摆动时，输出振幅便随之摆动，于是产生了非本意的AM。问题在于代价——谐振曲线并非线性，因此产生极其严重的失真（THD）；而偏离谐振点的能量则以热的形式耗散，甚至可能损坏元件。FM出局。

不过"淘汰"并不等于"研究终止"。FM因振幅恒定，可以让放大器工作在饱和区，功率效率很好，因此利用这一优势的尝试一直存在。代表性的做法是把谐振曲线造成的非线性变换预先反算并嵌入信号（Hatano等，2017）。归根结底，使用FM意味着把换能器而非空气当作解调器，并且要对该解调器的非线性做完整建模。考虑到谐振曲线会随元件差异与温度漂移，把同样的工夫花在AM侧的前处理上要划算得多。

硬件的实情——读懂换能器的谐振特性

为什么换能器的谐振曲线如此"狭隘"？第9、10篇的内容在此汇合。换能器在谐振频率f_r处产生最大振动与最大效率（阻抗最小），曲线的锐度由Q值决定，可用的宽度由带宽（BW）决定。指向性扬声器要无失真地再现，就必须让载波与全部边带都落在这个带宽之内。再加上温度或加装号筒等环境因素会让f_r微微移动，这是一个余裕并不多的舞台。

这个约束要用数字来看才有实感。按谐振系统的定义BW = f_r / Q，而双边带（DSB）调制的占用带宽是音频上限的两倍，因此可承载的音频上限是BW / 2。以40kHz载波计算如下。

换能器 Q	-3dB带宽（f_r=40kHz）	DSB下音频上限	SSB下音频上限	实务含义
3	13.3kHz	6.7kHz	13.3kHz	宽带但灵敏度·声压损失很大
5	8.0kHz	4.0kHz	8.0kHz	语音播报足够，音乐显闷
10	4.0kHz	2.0kHz	4.0kHz	接近语音清晰度的下限
20	2.0kHz	1.0kHz	2.0kHz	高灵敏度元件的典型，连语音都吃紧
30	1.33kHz	0.67kHz	1.33kHz	仅适用于警报音·单音

表所说的很清楚：提高Q能得到声压，却失去带宽。把压电元件放在谐振点上工作，是为了用同样的电压获得大得多的振幅，而这份增益恰恰是卖掉带宽换来的。指向性扬声器设计之所以格外憋屈，原因就在这里——参量阵按超声波声压的平方生成声音，因此声压不能放弃；可若放弃带宽，就没有音频可以再现了。

因此实际阵列往往混用f_r略有差异的元件来拓宽合成带宽，或用后腔·匹配层刻意降低机械Q。无论哪种，都是用左边一栏去换右边一栏的交易。

谐振的对称性从何而来

有一个性质值得注意——谐振曲线以f_r为中心对称。物理上是质量-弹簧-阻尼振动系统，电学上是RLC串联谐振（BVD等效电路），数学上是洛伦兹分布——三种视角画出同一条钟形对称曲线。这个对称性将在下一个选项中起决定性作用。

三种视角归于一处并非偶然。把压电振子换成电路后可归约为一条串联RLC支路加一个并联静电容，这在1928年就已整理清楚（Van Dyke）。机械质量对应电感，刚度对应电容，摩擦损耗对应电阻。而阻尼不大的二阶系统的响应，在谐振点附近以f_r为轴左右形状相同。总之，换能器几乎无法区分比f_r低1kHz的成分与高1kHz的成分。这种"无法区分"，预先决定了下一节的结论。

AM的两副面孔——DSB还是SSB

幸存下来的AM也有两条岔路。把5kHz语音载到40kHz上会产生35kHz（下边带）与45kHz（上边带），是两个都发（DSB），还是只发一个（SSB）？

• DSB（双边带）——两个边带都与载波相互作用，因此声音大，DSP实现也容易。代价是带宽用得宽、功率不经济。
• SSB（单边带）——带宽·功率效率好，但声音弱，且需要希尔伯特变换这类复杂的DSP滤波器。

这里刚才的对称性介入了——由于以40kHz为中心的对称谐振特性，只要45kHz被再现，35kHz在结构上也会以相近水平被再现。这意味着只发出某一侧边带在物理上很困难，也正是实务设计大多从DSB出发的原因。

除对称性之外，SSB还有一个性质需要讲清楚。空气读取的不是频谱而是包络，而只保留上边带的信号，其包络会变成原信号s与其希尔伯特变换ŝ的混合形态。把它平方后得到1 + m·s + (m²/4)(s² + ŝ²)，后面的括号很有意思——若信号是单个正弦音，s² + ŝ²恒等于1（常数），一求微分就消失了。也就是说，在单音条件下SSB的原理性失真恰好为0。

问题在于实际的音乐·语音并非单音。当音调有两个以上时，s² + ŝ²不再是常数，两个音调的差频附近便残留下原信号中没有的成分。带宽减了一半，失真却没有完全消失。这正是递归型SSB（用反复计算削减残差）与加权DSB（给两个边带不同权重）等变形方案被提出的背景。

调制方式判定表

把至此的讨论整理成一张表。占用带宽是把音频上限记为f_a时的值，"原理性失真"是与元件品质无关、由公式本身产生的部分。

方式	包络 E(t)	占用带宽	原理性失真	运算负担	与谐振带宽的契合	判定
DSB-AM（无补偿）	1 + m·s(t)	2 f_a	单音二次谐波 = m（m=0.5时50%）	乘法1次	与对称曲线自然吻合	基准点
平方根AM（DSB）	√(1 + m·s(t))	2 f_a ~ 8 f_a（取决于m）	理论上抵消，按截断量残留	平方根 + 带宽限制	m大时超出带宽	实务标准
SSB	原信号 + 希尔伯特成分	f_a	单音为0，多音时残留	希尔伯特变换	对称谐振复活另一侧	部分采用
递归SSB · 加权DSB	反复修正后的包络	f_a ~ 2 f_a	随迭代次数减少	反复运算·延迟	良好	高级选项
FM	常数	窄	自解调输出为0（依赖斜率检波）	低	完全依赖谐振斜率	淘汰
方波PWM驱动	占空比	基波 + 奇次谐波	开关谐波（在谐振之外）	比较器1个	谐振充当复原滤波器	功率级的正解

表的第二行与本系列的结论相连。第7篇所见的"复原音 ∝ 包络平方的二阶微分"这一关系式，本身就给出了处方：预先给包络加上平方根，就会与平方精确抵消。只是平方根运算会制造信号中原本没有的谐波，把包络自身的带宽拓宽，而这拓宽后的带宽会撞上前面看到的换能器Q之墙。平方根加到哪里、在哪里截断——这个权衡正是第14篇的主题。

用数字看失真抑制性能

把表中的"原理性失真"换成实际数字。我们直接构造各方式的包络E(t)，按Berktay式对E(t)²求两次微分，再计算复原音中混入了多少原本不存在的成分。条件是调制指数 m = 0.7，各方式归一化到相同的驱动电压峰值，测试信号为单音（1kHz）与双音（1.0kHz + 1.3kHz）两种。之所以一并考察双音，是因为如前一节所说，仅凭单音无法暴露SSB的弱点。

方式	单音失真	双音失真	复原音输出	包络带宽	实现难度
DSB-AM（无补偿）	57.4%	50.6%	0 dB（基准）	2 f_a	乘法1次
平方根AM（不限带宽）	0%	0%	−1.4 dB	3 f_a（−40dB）~ 5 f_a（−60dB）	平方根1次
平方根AM（限制到3.2kHz）	8.0%	12.8%	−1.3 dB	约2.5 f_a	平方根 + 低通
SSB（载波 + 上边带）	0%	0.80%	−2.0 dB	f_a	希尔伯特变换
递归SSB · 加权DSB	随迭代次数减少	随迭代次数减少	与SSB相近	f_a ~ 2 f_a	反复运算 + 延迟
方波PWM驱动	无包络失真	开关三次谐波 −38dB	+4.2 dB	基波 + 奇次谐波	比较器1个

从表中该读出的不是排名，而是交换条件。无补偿DSB的57%失真，与第7篇的关系式 m / √(1 + m²) 代入 m = 0.7 的结果完全一致；而加上平方根后，这个失真在数值上归零。代价是包络带宽扩展到f_a的三四倍（m接近1时可达八倍），而一旦在3.2kHz处强行截断，失真就以8~13%复活。平方根补偿的效果，只能兑现到换能器所给出的带宽为止。

SSB这一列把带宽减半却仍保持1%以下的失真，看似很有吸引力，但若被抑制的另一侧边带在对称谐振中复活，表中的0.80%就守不住了。最后一行的方波PWM性质不同——这里产生的不是包络失真而是开关谐波，而如后两节所示，谐振曲线会自行把它滤掉。在同样的供电电压下基波增大4/π倍，超声波声压提高2.1dB；复原音与声压的平方成正比，因此变为+4.2dB。

PWM——功率的语言

剩下的问题是"如何高效放大这个AM信号"。连续抬升振幅的线性放大器（Class A/AB）好比把水龙头开一半，多余的能量都当作热扔掉（效率不足70%）。PWM + 开关放大器（Class D）只把水龙头完全打开与完全关闭，用"打开时间的宽度"来调节流量——效率90%以上，损耗最小。对需要驱动数百个换能器的指向性扬声器而言，效率不是选择而是生存问题。

"效率不足70%"是有计算依据的。推挽线性放大器（Class B）的理论最大效率，是在输出振幅填满供电电压时的π/4 ≈ 78.5%，实际上由于偏置电流与余量电压还要更低。相反，开关放大器的损耗只发生在导通电阻与开关过渡区间。

这个差距在指向性扬声器中尤其拉大，原因在于载波始终处于开启状态。一般音频放大器中音乐的平均电平远低于峰值，因此线性放大器的平均消耗也低；但指向性扬声器无论声音大小，都持续以接近最大输出的水平发射40kHz载波。若用线性放大，这份常时负载会整个变成热。在一块面板上贴着数十上百个元件的结构里，这些热很快就以f_r漂移与寿命下降的形式回来。

为什么可以用方波去打——谐振本身就是复原滤波器

既然舍弃了线性放大，进入换能器的就不是平滑的正弦波，而是棱角分明的方波。若是音频放大器这可是大事，但在这里反而有利。理由有两个。

第一，方波的基波更大。把振幅为1的方波展开成傅里叶级数，基波成分的振幅是4/π ≈ 1.27，也就是比同振幅的正弦波高约2.1dB。这意味着用同样的供电电压获得更强的超声波；而参量阵是以超声波声压的平方生成声音的，所以这2.1dB在复原音上会变成接近两倍的收益。

第二，多余的谐波由谐振自行丢弃。方波的谐波只存在于奇次，振幅按1/n衰减。若是40kHz方波，三次谐波在120kHz处比基波低−9.5dB，五次在200kHz处为−14dB。可是如前表所见，Q=10的换能器−3dB带宽不过是40kHz ± 2kHz。120kHz远在该带宽之外，元件实际上毫无反应。曾经是麻烦的窄带宽，在这里成了免费的低通滤波器。

总之，方波驱动不是"随便打打"的做法，而是把元件的物理性质当作滤波器再利用的设计。不过代价同样存在——跑到谐振之外的谐波能量不会变成声音，而是在元件内变成热，或在导线上变成电磁噪声。这就是实务中总少不了让开关边沿变缓的栅极控制与布线屏蔽的原因。

驱动流水线——用三段来组装

于是实际的驱动链这样组装。① DSP级：把音频合成到40kHz载波上设计出AM信号（制作空气将要解读的波形外壳）；② Modulator级：把AM的振幅信息置换为PWM占空比；③ Power Stage：由H桥开关高电压，发射高能量超声波。

三个阶段各说不同的语言：①处理数字序列，②处理时间长度，③处理电荷量。每个边界都会有所损失，所以误差预算必须分开分配——①中采样率不足会让边带折叠回来，②中占空比分辨率不足会让量化噪声贴在载波旁边，③中死区时间过长会让占空比失真。第11篇的采样定理是①的问题，第14篇要讲的调制指数则横跨①与②。

三个常见误解

• "FM振幅恒定，所以对指向性扬声器有利"——恰恰相反。振幅恒定意味着包络里没有信息，而空气只读包络。至于放大效率的优点，PWM早已以更大的幅度提供了。
• "用SSB带宽减半，换能器的问题就解决了"——只对了一半。占用带宽确实减少，但对称谐振会让另一侧边带复活；而且在多个音调同时存在时，剩下的包络与原信号不同，会新生失真。
• "Class D音质差，所以高级机用线性放大"——这是把一般音频的成见照搬过来的误解。在这里决定最终音质的不是放大器的波形保真度，而是包络的准确度，而方波谐波会被换能器谐振滤掉。

小结

因为空气只听包络，FM在原理上无声（若听得见，那是失真与发热的副作用），信息则以AM编码。由于谐振的对称性，实务以DSB为中心；功率则用PWM开关解决。而那条狭窄的谐振带宽既是麻烦，同时也是替我们滤掉方波谐波的免费滤波器。现在只剩系列的最后一块拼图了——平方根预补偿加到什么程度、调制指数放在哪里，也就是优化整条链路的信号处理，本系列将以此收尾。

系列导览

《指向性扬声器的科学》按以下顺序展开。

1. 什么是指向性扬声器——声音的手电筒
2. 把声音载到听不见的声音上——工作原理第一步
3. 指向性扬声器应用案例——展览·安全·零售·办公
4. 什么是超声波——定义·种类·传播特性
5. 为什么是超声波——产生原理与应用地图
6. 空气变成扬声器的魔法——PAA非线性声学
7. PAA理论深化——Berktay·Westervelt·KZK
8. 为声音瞄准——相控阵与波束成形
9. 压电效应——电变成声的瞬间
10. 超声波换能器设计——谐振与排布
11. 奈奎斯特定理——数字声音的起点
12. 调制入门——AM·FM·PWM一览对比
13. 指向性扬声器的调制策略——谐振与PWM（本篇）
14. 之后：信号处理优化——带宽与调制指数（完结）

本系列是将亲自研究整理的超声波指向性声学技术讲义资料改编为博客形式而成。图版摘自该资料。

参考资料

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• H. O. Berktay, D. J. Leahy, "Farfield performance of parametric transmitters," JASA 55(3), 539 (1974)：包络近似在远场的有效范围与极限条件
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• Class-D amplifier — Wikipedia：开关放大的动作与效率概览