从半导体到晶体管 #07 — 工作区：截止·线性·饱和与 NMOS·PMOS

上一篇里我们立起了场效应晶体管的结构。栅极搁在绝缘膜上，并不接触沟道，可即便如此，只要给栅极加上电压，绝缘膜底下的表面就会翻转，生成连接源极与漏极的沟道。那条沟道开始出现时的栅极电压，被命名为阈值电压。

到那里为止是栅极所做的事。本篇要看剩下的一半：把沟道造好之后，再把漏极电压升上去，电流会怎样变化——以及为什么过了某一点，再升也不会增加。

先把答案说出来，共三段。没有沟道就不流。有沟道，升多少就增多少。可是一旦越过某条线，再升也照旧。这三段各自有名字，也各自有条件式。

正文中的条件数值是为了展示计算过程的示例，并非某家公司的规格。文中引用的数值都在公开文献中核对过，出处列在文末。

三个区域由两个不等式划开

要处理的电压有两个：栅极与源极之间的电压 V_GS，以及漏极与源极之间的电压 V_DS。三个区域，只要把这两个各比较一次就全分开了。下面以电子流动的 NMOS 为准。

维基百科《MOSFET》条目这样写出三个区域的条件。

• 截止（cut-off）——V_GS < V_th。沟道没有生成。《MOSFET》条目描述此时「晶体管处于关断状态，漏极与源极之间没有导电」。
• 线性·三极管区（triode / linear）——V_GS > V_th 且 V_DS < (V_GS − V_th)。沟道从源极一直连到漏极。《MOSFET》条目把这一段里的器件描述为阻值由栅极电压决定的电阻。
• 饱和（saturation）——V_GS > V_th 且 V_DS ≥ (V_GS − V_th)。

两个不等式里都含有 V_GS − V_th 这一团。它量的是栅极电压越过阈值多少。《MOSFET》条目给这一团起了个名字，叫过驱动电压（overdrive voltage）V_ov。此后本文凡是谈到边界，基准永远是这个值。

线性段——表现得像一个电阻

维基百科《Field-effect transistor》条目这样说明这一段。当漏极电压远小于栅极电压时，改变栅极电压就会改变沟道的电阻，而漏极电流与漏极电压成正比。《Field-effect transistor》条目写道，此时器件的动作就像一个可变电阻。

《MOSFET》条目所载这一段的电流式如下。

I_D = μ_n C_ox (W / L) [ (V_GS − V_th) V_DS − V_DS² / 2 ]

把符号一个个拆开来看是这样。

• μ_n——载流子的有效迁移率。表示在同样的电场下载流子被拉动得有多快。
• C_ox——栅极绝缘膜的单位面积电容。它决定了同样的栅极电压能往沟道里召集多少电荷。
• W——栅极的宽度。电流通行的那条路的宽窄。
• L——栅极的长度。从源极到漏极要走的距离。

正如上一篇所见，栅极绝缘膜本身就是一个电容器。把维基百科《Capacitor》条目的平行板电容 C = ε A / d 除以面积，便得到单位面积上的值，所以 C_ox 就是绝缘膜的介电常数除以厚度。绝缘膜越薄，C_ox 越大，同样的电压下流过的电流也越多。

名字叫线性，其实并不是完全的直线

看式子，方括号里有一个 V_DS 项和一个 V_DS² 项。后者是减去的，所以漏极电压越升，斜率就一点点趴下去。用数字确认一下。

本文假定一个 V_th = 0.7 V 的 NMOS 上加了 V_GS = 2.0 V 来进行计算。把 μ_n C_ox (W / L) 捆成一个记作 k，后面要出场的沟道长度调制系数 λ 取为 0。过驱动电压是 V_ov = 2.0 − 0.7 = 1.3 V。

• V_DS = 0.1 V → I_D = k [ 1.3 × 0.1 − 0.1² / 2 ] = k [ 0.13 − 0.005 ] = 0.125 k
• V_DS = 0.2 V → I_D = k [ 0.26 − 0.02 ] = 0.240 k
• V_DS = 0.4 V → I_D = k [ 0.52 − 0.08 ] = 0.440 k
• V_DS = 1.3 V → I_D = k [ 1.69 − 0.845 ] = 0.845 k

从 0.1 V 升到 0.2 V 翻了一倍，电流却只变成了 1.92 倍。从 0.2 V 再升到 0.4 V 又翻一倍，这次是 1.83 倍。投进去两倍，出来的却不到两倍。而且这份损失还在越来越大。

这就是同一段为什么会有线性与三极管区两个名字的缘由。漏极电压很小时 V_DS² 项可以忽略，几乎是直线，这一部分叫线性。把漏极电压再升上去，那一项就长大，曲线趴了下来，这一部分叫三极管区。不等式是同一个，只不过是把曲线的前半截与后半截分开来叫罢了。

为什么会趴下去，看一看沟道的形状就明白了。因为漏极电压越大，漏极那一侧的沟道就越薄。维基百科《Threshold voltage》条目写道，漏极电压为正时沟道会变细，并把理由说明为：落在电阻性沟道上的电压，削弱了加在绝缘膜上的电场。路变窄了，电阻不可能不涨。

饱和段——沟道断了，电流却还在流

继续把漏极电压升上去，本已变薄的漏极侧沟道最终会消失。《Field-effect transistor》条目把这种状态描述为反型区的形状在漏极端被夹断（pinch-off，掐断）。

断在哪里，是算出来的

决定沟道有无的，是栅极与那一点之间的电压。在源极一侧的点上，这个值就是 V_GS。到了漏极端，中途已经落掉了 V_DS，所以剩下的是 V_GS − V_DS。这个叫作栅漏电压 V_GD。

沟道只存在于这个值越过阈值的地方。所以漏极端的沟道刚好消失那一瞬的条件，就是 V_GD = V_th。把两个式子接起来，

V_GS − V_DS = V_th → V_DS = V_GS − V_th

前面用来划分区域的那条边界，就这样原样出来了。划分区域的不等式并不是要背下来的规则，而是把沟道何时断掉记录了下来。用上面假定的值来说，V_DS = 1.3 V 就是那个位置。

断了，为什么电流还留着

这里自然会生出一个疑问：路都断了，电流不也该断吗。并非如此。

《Field-effect transistor》条目把这一点讲得很清楚。在饱和段，即便栅极造出的导电沟道不再连接源极与漏极，载流子的移动也并没有被挡住。构成沟道的电子一旦被漏极电压拉扯，就能穿过耗尽区走出沟道之外。就是前几篇里见过的那个耗尽区——它只是没有可供搬运的载流子，却挡不住电场把东西运过去。

《MOSFET》条目也从另一个角度说了同样的话：即便沟道没有贯穿器件全段，漏极与沟道之间的电场极高，导电仍在继续。

那么为什么电流不再增加。《Field-effect transistor》条目写出了理由。把漏极电压升上去，从漏极到夹断点的距离就变长，耗尽区的电阻也随之升高。电压涨了多少，电阻也跟着涨多少，于是电流几乎原样留着。正因为这种正比关系，饱和段里的器件不像电阻而像电流源，而那股电流的大小由栅极电压来定。

饱和段的电流式

《MOSFET》条目所载这一段的式子如下。

I_D = (μ_n C_ox / 2) (W / L) [ V_GS − V_th ]² [ 1 + λ V_DS ]

与前面那个式子相比，方括号里的 V_DS 不见了。剩下的只有后头那个 [ 1 + λ V_DS ]，《MOSFET》条目把 λ 称作沟道长度调制系数，并说明这一项正是用来装「夹断点随漏极电压而移动」的那一份。λ 小的话，曲线就几乎是水平的。

来确认一下两个式子在边界上会不会对不上。仍照前面的假定，V_ov = 1.3 V，λ = 0。

• 把 V_DS = 1.3 V 代入线性式 → k [ 1.69 − 0.845 ] = 0.845 k
• 代入饱和式 → (k / 2) × 1.3² = (k / 2) × 1.69 = 0.845 k

是同一个值。虽是两个不同的式子，却在边界上分毫不差地相遇。曲线并不是折了一下，而是在同一条曲线的顶点上性格变了。

补充一句，截止段的电流严格说来也不是 0。《MOSFET》条目把阈值以下的电流写作 I_D ≈ I_D0 e^{(V_GS − V_th) / nV_T}。形状与前几篇的二极管式相同，V_T 也是同一个热电压——维基百科《Boltzmann constant》条目记作在 300 K 下约 25.85 mV 的那个值。就在你以为开关已经关掉的时候，一股极小的电流正沿着指数函数漏着。

NMOS 与 PMOS——把符号翻过来

到此为止说的是电子流动的 NMOS。空穴流动的 PMOS，则是把同样的故事只把符号翻过来再讲一遍。

《MOSFET》条目这样区分两者的结构：n 沟道器件的源极与漏极是 n⁺、体是 p 型；p 沟道器件的源极与漏极是 p⁺、体是 n 型。渡过沟道的载流子，n 沟道是电子，p 沟道是空穴。

电压的方向也翻了过来。《MOSFET》条目写道，把栅源电压加成负的，n 区表面就会生成 p 沟道，这与 n 沟道的情形是同样的故事，只是电荷与电压的极性相反而已。并且描述道，当栅极电压比阈值更不负时沟道就会消失，只剩下极小的阈值以下电流。

因此前面立起的那些不等式，在 PMOS 里方向全都反了过来。导通的条件是 V_GS < V_th（V_th 本身就是负数），进入饱和的条件是 V_DS ≤ V_GS − V_th。若只看大小，与 NMOS 一模一样。差别只在于加了符号还是去了符号。

同样的尺寸下，PMOS 出的电流更少

不过有一处对称并不完全，那就是迁移率。

把本系列第一篇里看过的值再搬出来。维基百科《Electron mobility》条目的表格这样记录晶体硅的迁移率。

• 电子 1,400 cm²/(V·s)
• 空穴 450 cm²/(V·s)

电流式最前面那个 μ，正是这个值。把其他条件——W、L、C_ox、过驱动电压——都取成一样，电流之比就是迁移率之比。

450 ÷ 1,400 ≈ 0.32

做成同样尺寸的 PMOS，只能出到 NMOS 的约 1/3 的电流。反过来，要让它出同样的电流，就得把宽度 W 加宽到 1,400 ÷ 450 ≈ 3.1 倍。

《MOSFET》条目在说明把两种器件并排使用的开关时写道，把 pMOS 做得比 nMOS 宽两到三倍。这样两个方向上的速度才对得上。这与从迁移率之比得出的 3.1 倍是同一量级的数字。

《MOSFET》条目也用一句话归纳了理由：若要出电流的能力相同，n 沟道器件可以做得比 p 沟道器件更小，因为 p 沟道的载流子空穴比 n 沟道的载流子电子迁移率更低。

归纳起来，PMOS 是照在镜子里的 NMOS，只是这面镜子并不完全平整。物理是对称的，可材料并不对称。今后几篇讲电路时，若看到两种器件尺寸不同的图，那不是设计者的偏好，而是这张表上的两个数字所指使的。

小结

• 区域由两次比较划开。比较 V_GS 与 V_th 看有没有沟道，比较 V_DS 与 V_GS − V_th 看那条沟道有没有一直连到底。
• 在线性·三极管段里，器件是阻值由栅极电压决定的电阻。式子里有 V_DS² 项，所以与名字不同，它并不是完全的直线——投进两倍出来 1.9 倍，再投两倍出来 1.8 倍。
• 边界 V_DS = V_GS − V_th 不是要背的规则，而是把 V_GD = V_th 换个写法。那是漏极端的沟道消失的位置。
• 沟道断了，电流并不断。载流子搭着电场渡过耗尽区。把漏极电压升上去，那一段的电阻也跟着升，于是电流几乎保持一定。
• PMOS 是把符号翻过来的 NMOS。只是空穴的迁移率低，450 对 1,400，所以同样尺寸下电流约为 1/3。

到这里是一个晶体管理想地行事时的故事。下一篇要看这个理想被打破的地方——把器件做小、沟道变短之后，上面这些式子从哪里开始对不上了。

参考资料

• MOSFET — Wikipedia：三个工作区的条件式（截止 V_GS < V_th，三极管区 V_GS > V_th 且 V_DS < V_GS − V_th，饱和 V_DS ≥ V_GS − V_th），两段的电流式与 μ_n·C_ox·W·L·λ 的定义，过驱动电压，阈值以下的指数电流式，即便夹断电场仍高、导电继续的叙述，n/p 沟道的源极·漏极·体的构成与极性反转，把 pMOS 做得比 nMOS 宽两到三倍的叙述，因空穴迁移率低、同样驱动力下 n 沟道可以做得更小的叙述
• Field-effect transistor — Wikipedia：漏极电压小时动作像可变电阻的叙述，反型区在漏极端被夹断的叙述，饱和时载流子仍穿过耗尽区移动、漏极电压升高则到夹断点的距离与电阻一同升高因而电流保持一定的说明，饱和段的器件动作像电流源的叙述
• Threshold voltage — Wikipedia：阈值电压的定义（造出连接源极与漏极的导电通路所需的最小栅源电压），漏极电压为正时沟道变细的叙述
• Electron mobility — Wikipedia：晶体硅的迁移率——电子 1,400 cm²/(V·s)，空穴 450 cm²/(V·s)
• Capacitor — Wikipedia：平行板电容器 C = ε A / d
• Boltzmann constant — Wikipedia：热电压 V_T = kT / q，300 K 下约 25.85 mV
• ※ 上述清单中引自 Wikipedia 条目的部分，遵循 CC BY-SA 4.0 许可协议。