반도체에서 트랜지스터까지 #04 — 다이오드와 커패시터: 접합 하나에서 나오는 두 부품

지난 편에서 PN 접합 하나를 만들고 두 가지를 확인했습니다 — 순방향에서는 전류가 흐르고 역방향에서는 막힌다는 것, 그리고 공핍층의 두께가 걸어 준 전압에 따라 변한다는 것입니다.

이 두 사실에서 서로 전혀 달라 보이는 부품이 각각 하나씩 나옵니다. 다이오드와 커패시터입니다. 이 편은 그 두 갈래를 따라갑니다. 그리고 마지막에 둘이 화면 속 화소 하나에서 어떻게 만나는지를 봅니다.

본문의 조건 값은 원리를 보이기 위한 예시이며 특정 회사의 사양이 아닙니다. 인용한 수치와 서술은 모두 공개 문헌에서 확인한 것이고 출처를 글 끝에 남깁니다.

다이오드 — 방향을 가리는 부품

PN 접합의 전류를 전압에 대해 그리면 좌우가 전혀 다른 곡선이 나옵니다. 왼쪽(역방향)은 바닥에 붙어 있고, 오른쪽(순방향)은 어느 지점부터 수직에 가깝게 치솟습니다.

위키백과 「Diode」 문서가 싣고 있는 순방향 문턱 전압 표를 보면

• 실리콘 p–n 접합 0.6 ~ 0.7 V
• 게르마늄 p–n 접합 0.25 ~ 0.3 V

회로를 다루는 사람들이 "실리콘 다이오드는 0.7 V"라고 외우는 값입니다.

'문턱에서 갑자기 켜진다'는 것은 착시다

곡선을 보면 0.7 V에서 스위치가 탁 켜지는 것 같습니다. 그런데 식은 그렇지 않습니다.

위키백과 「Shockley diode equation」 문서는 다이오드 전류를 이렇게 적습니다.

I = I_S ( e^{V / nV_T} − 1 )

I_S는 역포화 전류, n은 이상계수, V_T는 열전압입니다. 지수가 들어 있을 뿐 어디에도 문턱이 없습니다. 전류는 0에서 뛰어오르는 것이 아니라 전압에 대해 줄곧 지수적으로 늘고 있습니다.

왜 그렇게 가팔라 보이는지는 V_T의 크기가 설명합니다. 위키백과 「Thermal voltage」 문서는 300 K에서 V_T가 약 25.852 mV라고 적습니다. 지난 편에서 계산한 kT 0.0259 eV와 같은 값입니다 — 같은 양을 전압 단위로 쓴 것이기 때문입니다.

이 작은 값이 지수의 분모에 있습니다. 전압이 0.0259 V 오를 때마다 지수가 1씩 늘고, 전류는 약 2.7배가 됩니다.

전류가 열 배가 되려면 지수가 ln 10 = 2.303만큼 늘어야 하므로, 필요한 전압은

2.303 × 25.852 mV = 약 59.5 mV

곧 60 mV마다 전류가 열 배입니다. 이 편에서 가장 자주 쓰는 어림수입니다.

숫자를 넣어 곡선을 그려 본다

직접 넣어 보겠습니다. 이 글은 I_S = 1 × 10^-12 A, n = 1로 가정하고 계산합니다 — 계산 과정을 보이기 위한 예시 값이지 특정 부품의 값이 아닙니다. 「Shockley diode equation」 문서는 이상계수 n이 1에서 2 사이라고 적으므로 n = 1은 그 아래쪽 끝입니다.

또 하나 덜어낼 것이 있습니다. 「Shockley diode equation」 문서는 순방향 전압이 어느 정도 되면 지수항이 1보다 훨씬 커져 식의 −1을 무시할 수 있다고 적습니다. 그러면 I ≈ I_S e^V/V_T만 남습니다. 전압을 0.1 V씩 올려 가며 대입하면

• 0.4 V → 지수 15.5, e^15.5 ≈ 5.2 × 10⁶ → I ≈ 5.2 μA
• 0.5 V → 지수 19.3, e^19.3 ≈ 2.5 × 10⁸ → I ≈ 0.25 mA
• 0.6 V → 지수 23.2, e^23.2 ≈ 1.2 × 10¹⁰ → I ≈ 12 mA
• 0.7 V → 지수 27.1, e^27.1 ≈ 5.7 × 10¹¹ → I ≈ 0.57 A

0.4 V에서 0.7 V까지 0.3 V를 올리는 사이에 전류는 5.2 μA에서 0.57 A로 11만 배가 되었습니다. 앞의 어림수로도 0.3 V ÷ 59.5 mV ≈ 5, 곧 다섯 자릿수이니 10만 배 — 맞아떨어집니다.

이제 왜 문턱처럼 보이는지가 분명해집니다. 이 곡선을 세로축 0~1 A 눈금 위에 그린다고 해 봅시다. 0.5 V의 0.25 mA는 눈금의 4,000분의 1이라 선 두께 안에 묻히고 0.4 V 이하는 바닥에 붙어 보입니다. 그러다 0.6 V와 0.7 V에서 갑자기 솟구칩니다. 소자가 갑자기 켜진 것이 아니라 그 앞이 눈에 안 보였을 뿐입니다. 「Diode」 문서도 세로축을 로그로 바꿔 그리면 무릎이 사라지고 그 구간에 특별한 것이 없음이 드러난다고 적습니다.

역방향에서는 왜 값이 멈추는가

쇼클리 식에 음수를 넣으면 반대쪽 이야기가 나옵니다. V = −1 V면 지수가 −38.7이고 e^-38.7은 10^-17 수준이라 사실상 0입니다. 괄호 안은 (0 − 1) = −1만 남아

I ≈ −I_S = −1 pA

−2 V, −5 V로 더 내려가도 지수항은 이미 0이라 결과가 달라지지 않습니다. 전압을 올려도 전류가 늘지 않는 것, 이것이 지난 편에서 말한 "역포화"의 뜻입니다.

다만 I_S는 고정된 상수가 아닙니다. 「Shockley diode equation」 문서는 I_S가 온도에 따라 변하며 그 변화가 V_T의 변화보다 크기 때문에 온도가 오르면 같은 전류를 흘리는 데 필요한 전압이 오히려 낮아진다고 적습니다. 「Diode」 문서도 마이크로암페어 범위인 역방향 전류가 온도가 충분히 높아지면 밀리암페어 이상까지 올라갈 수 있다고 기술합니다.

이 좌우 비대칭이 다이오드의 쓸모 그 자체입니다. 「Diode」 문서는 한쪽으로만 흐르는 이 성질이 교류를 직류로 바꾸는 데 쓰이며 그것을 정류(rectification)라 부른다고 적습니다.

표에서 게르마늄의 문턱이 낮은 것도 같은 이야기입니다. 밴드갭이 좁아 같은 전압에서 훨씬 많은 전류가 흐르니 눈금에 일찍 잡힙니다. 그런데 같은 이유로 역방향 누설도 큽니다. 문턱을 낮추는 일과 새는 것을 줄이는 일은 늘 서로 맞바꿔야 하는 관계입니다.

커패시터 — 막는 층을 거꾸로 쓴다

이제 반대쪽입니다. 역방향으로 걸어 전류를 막았을 때 그 소자는 무엇이 되어 있을까요.

커패시터는 전기를 담아 두는 부품입니다. 가장 단순한 형태는 금속판 두 장 사이에 통하지 않는 물질을 끼운 것입니다. 위키백과 「Capacitor」 문서는 용량을 C = Q / V, 곧 두 도체에 실린 전하 Q와 그 사이 전압 V의 비로 정의합니다. 같은 전압에서 더 많은 전하를 담으면 용량이 큰 것입니다.

판이 평평하고 나란하다면 용량은 모양이 정합니다. 「Capacitor」 문서는 평행판 커패시터의 용량을 이렇게 적습니다.

C = ε A / d

ε는 끼운 물질의 유전율, A는 마주 보는 넓이, d는 간격입니다. 「Capacitor」 문서는 유전율이 높고, 면적이 넓고, 간격이 좁을수록 용량이 커진다고 기술합니다. 간격이 분모라는 점을 기억해 두시기 바랍니다.

역방향 PN 접합을 다시 봅시다.

• P형 영역 — 정공이 많아 전기가 통합니다. 판 한 장입니다.
• N형 영역 — 전자가 많아 전기가 통합니다. 나머지 판 한 장입니다.
• 그 사이의 공핍층 — 옮겨 다닐 캐리어가 없어 통하지 않습니다. 끼워 넣은 유전체입니다.

모양이 정확히 평행판 커패시터입니다. 전류를 막으려고 생긴 층이 그대로 유전체 노릇을 합니다. 이 용량을 접합 용량이라 부릅니다.

전압으로 용량을 바꾼다

여기서 지난 편의 마지막 문장이 살아납니다. 공핍층 두께는 (V_bi − V)의 제곱근에 비례했습니다. 그 두께가 여기서는 d입니다.

역방향 전압을 키우면 d가 커집니다. d는 분모이므로 용량이 작아집니다. 위키백과 「Varicap」 문서는 이를 두 문장으로 정리합니다 — 역방향 바이어스의 크기가 공핍 영역의 두께와 접합 용량을 제어하며, 용량은 인가 전압의 제곱근에 반비례한다는 것입니다.

전압으로 값을 바꿀 수 있는 커패시터라면 부품이 됩니다. 「Varicap」 문서는 바랙터(바리캡) 다이오드를 역방향 PN 접합의 전압 의존 용량을 이용하도록 설계된 다이오드로 정의합니다. 라디오의 주파수를 손잡이 대신 전압으로 맞추는 회로가 이것을 씁니다.

수치를 넣어 보면 pF 단위가 나온다

지난 편에서 공핍층의 두께를 실제로 계산했습니다. 아무것도 걸지 않았을 때 430 nm, 역방향 5 V에서 1,215 nm였습니다. 그 값을 여기 d 자리에 그대로 넣으면 용량이 나옵니다.

유전율은 ε = ε_r ε₀입니다. 위키백과 「Relative permittivity」 문서의 실리콘 비유전율 11.68에 ε₀ = 8.854 × 10^-12 F/m을 곱하면

ε = 11.68 × 8.854 × 10^-12 = 1.03 × 10^-10 F/m

넓이는 100 μm 각, 곧 A = 10^-8 m²로 가정하겠습니다. 이제 대입합니다.

• 전압을 걸지 않았을 때 → C = 1.03 × 10^-10 × 10^-8 ÷ (4.3 × 10^-7) = 2.4 pF
• 역방향 5 V → C = 1.03 × 10^-10 × 10^-8 ÷ (1.215 × 10^-6) = 0.85 pF

「Varicap」 문서가 초기 바리캡의 용량 범위로 적은 1~10 pF 안에 들어오는 값입니다. 100 μm 각에서 이만한 용량이 나오는 것은 d가 나노미터 단위이기 때문입니다.

용량을 절반으로 만들려면 얼마를 걸어야 할까요. d가 두 배여야 하고 d는 (V_bi − V)의 제곱근이므로 괄호 안이 네 배가 되어야 합니다.

V_bi − V = 4 × 0.716 = 2.864 → V = 0.716 − 2.864 = −2.15 V

역방향 2.15 V면 용량이 반으로 줍니다. 「Varicap」 문서는 이 성질을 쓰는 회로로 전압 제어 발진기와 주파수 신시사이저를 들고, 라디오·텔레비전·휴대전화의 주파수를 맞추는 데 쓰인다고 적습니다.

쓰지 않아도 따라온다

뒤집으면 더 중요한 사실이 됩니다. 접합이 있는 곳에는 원하지 않아도 커패시터가 생깁니다.

스위치를 켜고 끌 때마다 이 용량을 채우고 비워야 합니다. 그 시간이 곧 지연입니다.

얼마나 걸리는지도 계산됩니다. 「Capacitor」 문서는 저항을 통해 충전할 때 전압이 V(t) = V₀(1 − e^−t/τ)를 따르고 τ = RC가 그 시간 상수라고 적습니다. 2.4 pF에 배선 저항을 1 kΩ으로 가정하면

τ = 10³ × 2.4 × 10^-12 = 2.4 × 10^-9 s, 곧 2.4 ns

목표 전압의 99%까지 차려면 e^−t/τ가 0.01이 되어야 하므로 t = τ × ln 100 = 4.6τ, 곧 약 11 ns가 듭니다. 소자를 빠르게 만드는 일의 상당 부분이 성능을 올리는 일이 아니라 이 딸려 오는 용량을 줄이는 일인 이유입니다.

담는 쪽에서 보면 같은 용량이 자산입니다. 「Capacitor」 문서가 적은 저장 에너지 W = ½ C V²에 2.4 pF와 5 V를 넣으면 3.0 × 10^-11 J, 곧 30 pJ입니다. 같은 부품이 신호를 늦추는 짐이기도 하고 값을 붙드는 그릇이기도 합니다.

재료 선택도 여기에 걸립니다. 「Relative permittivity」 문서의 표는 실리콘의 비유전율을 11.68, 이산화규소를 3.9로 적습니다. 세 배 차이입니다. 담고 싶은 자리에는 유전율이 큰 재료를, 딸려 오는 용량을 줄이고 싶은 자리에는 작은 재료를 씁니다.

화면 속 화소에서 둘이 만난다

여기까지 온 부품들이 어디에 있는지 하나만 보고 마치겠습니다. 액정 화면의 화소 하나입니다.

화면은 줄 단위로 그려집니다. 위키백과 「Thin-film-transistor liquid-crystal display」 문서는 화소가 행과 열로 주소 지정되어 수백만 개의 연결을 수천 개로 줄이며, 행과 열 배선이 화소마다 하나씩 붙은 트랜지스터 스위치에 이어진다고 기술합니다. 게이트 배선이 한 줄의 스위치를 한꺼번에 열면 데이터 배선에 실려 온 밝기 값이 그 줄의 화소들로 들어갑니다. 그리고 스위치가 닫힙니다.

문제는 그 다음입니다. 스위치가 닫힌 뒤 다음 차례가 돌아올 때까지 화소는 바깥과 끊겨 있고, 그동안 밝기를 유지하려면 값을 어딘가에 담아 두어야 합니다.

그 시간이 얼마나 되는지부터 보겠습니다. 위키백과 「Refresh rate」 문서는 재생률을 화면이 1초에 새 영상을 몇 번 표시하는가로 정의하고, 액정 모니터가 초당 60프레임에 고정되는 경우가 많다고 적습니다. 60으로 나누면 한 프레임은 약 16.7 ms이고, 화소 하나는 그동안 혼자 값을 붙들고 있어야 합니다.

액정층 자체가 두 전극 사이에 있으니 그것도 커패시터입니다. 「Refresh rate」 문서는 브라운관과 달리 액정 화면의 화소는 전원이 공급되는 한 상태를 유지한다고 적습니다. 하지만 그것만으로는 담는 양이 모자랍니다. 닫힌 스위치로도 아주 작은 누설 전류가 흐르고, 담긴 전하가 조금씩 빠져나가 밝기가 흐려지기 때문입니다.

얼마나 흐려지는지는 앞의 C = Q/V를 뒤집으면 나옵니다. 전하가 ΔQ만큼 빠지면 전압은 ΔQ/C만큼 떨어지고, 누설 전류 I가 Δt 동안 흐르면 ΔQ = I·Δt이므로

ΔV = I × Δt ÷ C

누설 전류를 1 pA로 가정하고, 용량을 앞에서 계산한 2.4 pF로 두겠습니다(둘 다 계산을 보이기 위한 예시 값입니다).

ΔV = 10^-12 × 16.7 × 10^-3 ÷ (2.4 × 10^-12) = 약 7 mV

한 프레임 동안 7 mV가 흘러내립니다. 용량이 10분의 1인 0.24 pF뿐이라면 같은 계산에서 70 mV가 빠집니다. 분모에 C가 있기 때문입니다. 담는 그릇이 클수록 같은 양이 새어도 눈금이 덜 움직입니다.

그래서 커패시터를 하나 더 붙입니다. IntechOpen에 실린 능동행렬 액정 디스플레이 해설(DOI 10.5772/9686)은 화소 등가회로를 설명하며 저장 커패시터가 액정 화소 용량에 병렬로 연결된다고 기술합니다.

정리하면 화소 하나는 이렇습니다.

• 스위치 — 언제 쓸지를 정합니다. 이것이 박막 트랜지스터입니다.
• 커패시터 — 쓴 값을 다음 차례까지 붙듭니다.

「Thin-film-transistor liquid-crystal display」 문서는 트랜지스터가 한쪽으로만 전류를 통과시키는 성질 덕분에 화소에 실린 전하가 재생 사이에 빠져나가지 않는다고도 적습니다. 방금까지 다룬 다이오드의 단방향 성질이 화면 안에서 하는 일이 그것입니다. 그리고 그 스위치를 만드는 재료로 비정질 실리콘 박막 트랜지스터가 가장 널리 쓰인다고 기술합니다 — 1편에서 이동도가 약 1뿐이라던 그 재료입니다.

지금까지 본 원리들이 전부 이 작은 사각형 안에 들어 있습니다. 접합이 있고, 공핍층이 있고, 누설 전류가 있고, 전하를 담는 층이 있습니다.

정리

• 다이오드의 전류에는 문턱이 없습니다. 지수 함수일 뿐이고, 분모의 열전압이 약 25.852 mV로 작아 60 mV마다 열 배로 늘기 때문에 문턱처럼 보입니다. 실리콘의 겉보기 문턱은 0.6~0.7 V입니다.
• 예시 값을 넣으면 0.4 V에서 5.2 μA, 0.7 V에서 0.57 A로 11만 배 차이가 납니다. 눈금이 그 앞을 보여 주지 못할 뿐입니다.
• 역방향 접합은 커패시터입니다. P형·N형이 판, 공핍층이 유전체이고 용량은 C = εA/d를 따릅니다.
• 역방향 전압이 간격을 정하므로 전압으로 용량이 조절됩니다 — 그것만 쓰는 부품이 바랙터 다이오드입니다.
• 지난 편의 공핍폭 430 nm와 100 μm 각을 넣으면 접합 용량은 2.4 pF, 역방향 5 V에서 0.85 pF가 됩니다. 용량을 절반으로 만드는 데 필요한 역방향 전압은 2.15 V입니다.
• 반대로 접합이 있는 곳에는 원치 않는 용량이 딸려 오고, 그것이 소자의 속도를 제한합니다. 2.4 pF에 1 kΩ이면 τ = RC = 2.4 ns, 99%까지 차는 데 약 11 ns가 듭니다.
• 액정 화소 하나는 스위치 하나와 커패시터로 이루어집니다.

여기까지가 이 시리즈의 앞머리입니다. 재료에서 출발해 접합을 거쳐 부품까지 왔습니다. 다음은 단자가 둘이 아니라 셋인 소자 — 흐름을 켜고 끄는 것이 아니라 조절하는 트랜지스터로 넘어갑니다.

참고 자료

• Diode — Wikipedia : 순방향 문턱 전압 — 실리콘 p–n 0.6~0.7 V, 게르마늄 p–n 0.25~0.3 V, 세로축을 로그로 그리면 무릎이 사라진다는 서술, 단방향 특성이 정류라는 서술, 역방향 전류가 고온에서 밀리암페어 이상까지 커진다는 서술
• Shockley diode equation — Wikipedia : I_D = I_S(e^V_D/nV_T − 1)과 각 항의 정의, 이상계수 n이 1~2라는 서술, 순방향에서 −1을 무시할 수 있다는 서술, I_S가 온도에 따라 V_T보다 크게 변한다는 서술
• Thermal voltage — Wikipedia : V_T = kT/q의 정의, 300 K에서 약 25.85 mV
• Capacitor — Wikipedia : C = Q/V, 평행판 C = εA/d와 높은 유전율·넓은 면적·좁은 간격에서 용량이 최대가 된다는 서술, 저장 에너지 W = ½CV², 시간 상수 τ = RC와 충전식 V(t) = V₀(1 − e^−t/τ)
• Varicap — Wikipedia : 역방향 바이어스가 공핍 두께와 접합 용량을 제어하고 용량이 인가 전압의 제곱근에 반비례한다는 서술, 바랙터의 정의, 초기 바리캡 용량 약 1~10 pF, 전압 제어 발진기·주파수 신시사이저 용도
• Depletion region — Wikipedia : 공핍폭이 (V_bi − V)의 제곱근에 비례한다는 관계식 — 용량 계산에 쓴 두께의 출처
• Relative permittivity — Wikipedia : 비유전율 표 — 실리콘 11.68, 이산화규소 3.9
• Refresh rate — Wikipedia : 재생률의 정의, 액정 모니터가 대개 초당 60프레임에 고정된다는 서술, 액정 화소가 전원이 공급되는 한 상태를 유지한다는 서술
• Thin-film-transistor liquid-crystal display — Wikipedia : 행·열 주소 지정과 화소마다 붙는 트랜지스터 스위치, 트랜지스터의 단방향 특성이 재생 사이의 전하 유실을 막는다는 서술, 비정질 실리콘 TFT가 가장 널리 쓰인다는 서술
• Active-Matrix Liquid Crystal Displays, IntechOpen (DOI 10.5772/9686) : 화소 등가회로에서 저장 커패시터가 액정 화소 용량에 병렬로 연결된다는 기술
• ※ 위 목록 가운데 Wikipedia 문서에서 인용한 부분은 CC BY-SA 4.0 라이선스를 따릅니다.