TFT 특성 파라미터 #05 — 문턱 아래의 기울기와 온·오프 비

지난 편에서 문턱전압을 세 가지 방법으로 뽑았습니다. 같은 곡선 하나에서 세 개의 값이 나왔고, 달라진 것은 소자가 아니라 어디를 읽을지에 대한 약속뿐이었습니다.

문턱전압은 「어디서 켜지는가」에 답합니다. 그런데 스위치를 두고 던질 수 있는 질문은 하나가 더 있습니다 — 얼마나 깔끔하게 켜지고 꺼지는가입니다. 문턱전압이 같은 두 소자가 이 질문에는 전혀 다른 답을 줄 수 있습니다. 하나는 좁은 전압 안에서 단숨에 켜지고, 다른 하나는 넓은 전압에 걸쳐 느슨하게 켜집니다.

이 편은 그 「깔끔함」을 재는 두 숫자를 봅니다. 문턱 아래 구간의 기울기와, 온 전류·오프 전류의 비입니다. 앞의 것은 켜지는 과정의 가파름을, 뒤의 것은 켜진 상태와 꺼진 상태가 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 잽니다.

본문의 조건 값은 계산 과정을 보이기 위한 예시이며 특정 회사의 사양이 아닙니다. 인용한 수치는 모두 공개 문헌에서 확인한 값이고 출처를 글 끝에 남깁니다.

문턱 아래 기울기 — 한 자릿수에 드는 전압

#02 에서 전달 곡선을 로그 축에 올렸습니다. 네 구간 가운데 두 번째, 문턱 아래 구간이 곧은 직선이었습니다. 지수 함수에 로그를 씌우면 직선이 되기 때문입니다.

직선이면 기울기를 숫자 하나로 적을 수 있습니다. 위키백과 「Subthreshold slope」 문서는 이 구간을 전계효과 트랜지스터 전류·전압 특성의 한 성질로 두고, 게이트 전압에 대해 전류가 로그-선형으로 거동한다고 기술합니다. 그 기울기를 문턱 아래 기울기(subthreshold slope)라 부릅니다.

실제로 값을 적을 때는 기울기 자체가 아니라 그 역수를 씁니다. 이것이 문턱 아래 스윙(subthreshold swing)이고, 단위는 mV/decade 입니다. 「Subthreshold slope」 문서는 여기서 쓰이는 decade 를 드레인 전류가 10배가 되는 것이라고 정의합니다.

그러면 뜻은 한 문장으로 정리됩니다.

• 문턱 아래 스윙 = 전류를 열 배 늘리는 데 필요한 게이트 전압

단위를 풀어 읽으면 됩니다. 60 mV/decade 라면 게이트 전압을 0.06 V 올릴 때마다 전류가 열 배씩 늘어납니다. 600 mV/decade 라면 같은 열 배를 얻는 데 0.6 V 가 듭니다.

「기울기」인데 작을수록 좋다

이름에 기울기가 들어 있지만 값이 작을수록 가파릅니다. 기울기가 아니라 역수를 적기 때문입니다. 처음 보면 걸리는 부분이라 한 번 짚고 갑니다.

왜 작은 쪽이 좋은지는 숫자를 넣어 보면 분명해집니다. 오프 상태에서 온 상태까지 전류가 여섯 자릿수 오른다고 해 봅시다.

• 100 mV/decade 인 소자 — 0.1 V × 6 = 0.6 V
• 300 mV/decade 인 소자 — 0.3 V × 6 = 1.8 V

같은 일을 하는 데 세 배의 전압이 듭니다. 스위치를 켜고 끄는 데 드는 전압이 그대로 소자를 구동하는 회로의 전압 범위가 되므로, 이 차이는 곧 얼마나 적은 전압으로 확실히 켜고 끌 수 있는가의 차이입니다.

내려갈 수 없는 바닥이 있다

여기서 이 편의 중심이 되는 사실이 나옵니다. 문턱 아래 스윙은 아무리 잘 만들어도 상온에서 어느 값 아래로 내려가지 않습니다.

위키백과 「Subthreshold slope」 문서가 싣고 있는 식은 이렇습니다.

S = ln(10) · (kT/q) · (1 + C_d/C_ox)

C_d 는 공핍층 용량, C_ox 는 게이트 절연막 용량, kT/q 는 열전압입니다. 괄호 안이 1 보다 작아질 수 없다는 점에 주목하면, 이 식의 최소값은 괄호가 1 일 때입니다. 「Subthreshold slope」 문서는 그때의 값을 S_min = ln(10)·kT/q 로 적고, 이를 열전자 방출 한계(thermionic limit)라 부르며 상온 300 K 에서 60 mV/decade 라고 기술합니다.

직접 계산해 봅니다

이 60 이라는 숫자는 외울 것이 아니라 곱셈 한 번입니다. 앞 시리즈에서 쓴 열전압 값을 그대로 가져옵니다. 위키백과 「Thermal voltage」 문서는 300 K(27 °C)에서 kT/q 가 약 25.85 mV 라고 적습니다. 이 글은 300 K 를 가정하고 계산합니다.

• kT/q = 0.02585 V
• ln 10 = 2.3026
• 0.02585 × 2.3026 = 0.05952 V

약 59.5 mV 입니다. 문헌이 말하는 60 mV/decade 는 이 값을 반올림한 것입니다.

왜 ln 10 을 곱하는지도 한 줄로 설명됩니다. 열전압은 전류가 e(약 2.718) 배 되는 전압입니다. 우리가 세는 단위는 열 배이므로, e 를 몇 번 곱해야 10 이 되는지 — 즉 ln 10 을 곱해 자릿수 단위로 옮긴 것입니다.

이 바닥은 어디서 오는가

계산이 짧은 만큼 뿌리도 단순합니다. 바닥을 정하는 것은 소자의 구조가 아니라 온도입니다.

캐리어는 모두 같은 에너지를 갖고 있지 않습니다. 열에 따라 퍼져 있고, 그 분포에는 에너지가 높은 쪽으로 길게 늘어진 꼬리가 있습니다. 게이트를 꺼서 장벽을 세워도 그 꼬리에 해당하는 캐리어는 장벽을 넘어갑니다. 장벽을 조금 높이면 넘는 수가 줄지만, 줄어드는 속도는 분포가 정합니다.

위키백과 「Tunnel field-effect transistor」 문서는 이 관계를 한 문장으로 적습니다 — 터널 전계효과 트랜지스터는 캐리어의 열적 맥스웰–볼츠만 꼬리에 제한되지 않으며, 그 꼬리가 종래 방식 소자의 문턱 아래 스윙을 상온에서 약 60 mV/decade 로 제한한다는 것입니다. 「Tunnel field-effect transistor」 문서는 이를 전력 축소의 근본적 한계로 두고, 장벽을 넘는 열전자 방출 대신 터널링을 변조하는 방식으로 이를 우회한다고 설명합니다.

이 한계에는 분포의 이름이 붙어 있습니다. Beckers·Jazaeri·Enz 의 논문(arXiv:1811.09146)은 제목 그대로 전계효과 트랜지스터의 문턱 아래 스윙 한계를 다루면서, 극저온에서 볼츠만 한계(Boltzmann limit)에서 벗어나는 온도 의존 한계를 보고합니다. 바꿔 말하면 상온에서 우리가 만나는 그 바닥이 볼츠만 한계입니다.

온도가 식에 곱해져 있다는 점은 거꾸로 읽으면 이렇게 됩니다 — 온도를 낮추면 바닥도 내려갑니다. Bohuslavskyi 등의 측정(arXiv:1903.05409)은 4.3 K 에서 7.3 mV/decade 를 보고합니다. 다만 화면이나 회로가 상온에서 동작하는 한, 이 바닥은 재료를 바꾸거나 구조를 다듬는 것으로 지워지지 않습니다.

기울기가 눕는 이유 — 전압이 나뉘기 때문입니다

그러면 실제 소자가 59.5 보다 큰 값을 갖는 이유는 무엇일까요. 식의 괄호, 즉 1 보다 큰 몫이 어디서 오는지를 보면 됩니다.

Bohuslavskyi 등의 측정 논문은 스윙을 S = m · ln10 · kT/e 로 적고, m 을 계면 트랩 용량 C_it 를 게이트 절연막 용량 C_ox 에 대해 담은 수로 정의합니다. m = (C_ox + C_it)/C_ox 이며 1 이상입니다. m 이 1 이면 상온에서 60 mV/decade 가 됩니다.

Bohuslavskyi 등의 논문은 게이트 전압이 어떻게 쓰이는지도 적어 둡니다. 게이트에 건 전압은 반도체 표면의 전위와 절연막에 걸리는 몫으로 나뉩니다. 전류를 정하는 것은 앞쪽, 즉 표면 전위입니다.

여기서 원리가 보입니다. 게이트 전압을 1 만큼 올려도 표면 전위는 1 만큼 오르지 않습니다. 절연막과 그 계면이 자기 몫을 가져가고 남은 것만 표면에 닿습니다. 계면에 전하를 붙들어 둘 자리가 많으면 그 자리들이 먼저 채워지면서 몫을 더 크게 가져갑니다. 채널에 닿는 몫이 줄어드니 같은 전압을 걸어도 전류가 덜 늘어납니다 — 곡선이 눕습니다.

숫자로는 이렇게 나타납니다. Bohuslavskyi 등의 논문은 자기 소자에 대해 긴 채널에서 m = 1.14, 짧은 채널에서 m = 1.23 을 얻었다고 적습니다. 곱해 보면

• 59.5 × 1.14 ≈ 67.8 mV/decade
• 59.5 × 1.23 ≈ 73.2 mV/decade

위키백과가 적은 「축소된 소자의 상온 실측값은 대략 70 mV/decade」와 어긋나지 않습니다. 하한과 실측값 사이의 간격이 곧 m 이고, m 은 절연막과 그 계면이 가져가는 몫입니다.

온 전류·오프 전류, 그리고 그 비

두 번째 숫자로 넘어갑니다. 문턱 아래 스윙이 켜지는 과정을 쟀다면, 이번에는 켜진 상태와 꺼진 상태 자체를 봅니다.

• 온 전류 — 켜 놓은 조건에서 흐르는 전류를 대표하는 값입니다.
• 오프 전류 — 꺼 놓은 조건에서 흐르는 전류를 대표하는 값입니다.
• 온·오프 비 — 앞의 것을 뒤의 것으로 나눈 값입니다.

#03 에서 본 원칙이 여기서도 그대로 적용됩니다. 셋 모두 정의값입니다. 곡선 위 어디를 읽을지 — 게이트 전압을 얼마로, 드레인 전압을 얼마로 두고 읽을지 — 를 정하지 않으면 값이 정해지지 않습니다. 그래서 온 전류와 오프 전류는 읽은 조건과 함께 적어야 뜻이 남습니다.

비의 의미는 직관적입니다. 위키백과 「Organic field-effect transistor」 문서는 온·오프 전류비가 소자를 끌 수 있는 능력을 나타내는 값이라고 적고, 비교 대상인 비정질 실리콘 박막 트랜지스터의 값을 10⁶~10⁸ 로 소개합니다. 백만 배에서 억 배입니다.

로그 축에 익숙해지면 이 값은 눈으로 바로 읽힙니다. 세로로 몇 칸 떨어져 있는가가 곧 자릿수 차이이고, 그것이 비입니다. 일곱 칸 떨어져 있으면 10⁷ 배입니다.

두 숫자의 관계도 여기서 드러납니다. Bohuslavskyi 등의 측정 논문은 스윙이 매우 작으면 이상적인 스위치에 가까워져 높은 온·오프 전류비와 낮은 대기 전력으로 이어진다고 적습니다. 스윙이 작을수록 같은 자릿수를 더 좁은 전압 안에서 건널 수 있으니, 주어진 전압 범위 안에서 벌릴 수 있는 자릿수가 늘어납니다.

화소 스위치에서는 오프 전류가 시간을 삽니다

앞 시리즈 #04 에서 액정 화면의 화소 하나를 스위치 하나와 커패시터 하나로 정리했습니다. 게이트 배선이 한 줄의 스위치를 열어 밝기 값을 써 넣고, 스위치가 닫힌 뒤에는 커패시터에 담긴 전하가 다음 차례까지 그 값을 붙들었습니다.

여기서 오프 전류가 무엇을 하는지 분명해집니다. 닫힌 스위치로 새는 전류는 담아 둔 전하를 갉아먹습니다. 새는 양이 많으면 다음 차례가 돌아오기 전에 값이 흐려집니다. 화소 스위치에서 오프 전류가 작아야 하는 이유는 속도나 세기가 아니라 버티는 시간 때문입니다.

재료를 바꾸면 이 시간이 얼마나 달라지는지는 공개 문헌에도 적혀 있습니다. 위키백과 「Indium gallium zinc oxide」 문서는 이 산화물 반도체가 매우 낮은 누설 전류를 갖는다고 적고, 그 결과로 다시 쓰지 않고도 화면 정보를 유지하여 소비 전력을 기존의 5분의 1 내지 10분의 1 수준까지 낮춘다고 기술합니다. 새는 양을 줄인 것이 곧 고쳐 쓰는 횟수를 줄인 것입니다.

오프 전류는 한 갈래로 오지 않습니다

마지막으로 한 가지를 분명히 해 두어야 합니다. 오프 전류라는 이름은 하나지만, 그 값을 만드는 경로는 여럿입니다.

위키백과 「Leakage (electronics)」 문서는 반도체에서의 누설 경로로 다음을 나란히 나열합니다.

• 절연 영역을 통한 양자 터널링 — 두께가 얇아질수록 지수적으로 늘어납니다.
• MOSFET 의 소스와 드레인 사이의 문턱 아래 전도 — 앞에서 본 그 구간입니다.
• 게이트 절연막을 가로지르는 게이트 산화막 터널링
• 고농도로 도핑된 PN 접합을 가로지르는 접합 터널링
• 배선 사이의 누설

여기에 빛이 더해집니다. 화면 안의 소자는 언제나 빛 속에 있습니다. 위키백과 「Indium gallium zinc oxide」 문서는 이 소자들이 약간의 광 민감성을 가지며 그 효과가 광자 에너지 3 eV 이상, 즉 짙은 보라에서 자외선 영역에서 뚜렷해진다고 적습니다.

그래서 오프 전류 하나의 값만 보고는 어느 경로가 커졌는지 가려지지 않습니다. 경로를 나누어 보려면 온도·드레인 전압·빛 조건을 따로 바꿔 가며 재야 합니다. 그 방법은 이 시리즈의 범위를 넘으므로 다른 시리즈에서 따로 다루겠습니다.

정리

• 문턱 아래 스윙은 전류를 열 배 늘리는 데 드는 게이트 전압입니다. 단위는 mV/decade 이고, 기울기의 역수이므로 작을수록 가파릅니다.
• 상온에는 내려갈 수 없는 바닥이 있습니다. 0.02585 V × 2.3026 = 0.0595 V, 즉 약 60 mV/decade 입니다. 이 바닥을 정하는 것은 구조가 아니라 온도이며, 캐리어의 열적 분포에서 나오기에 볼츠만 한계라 불립니다.
• 실제 값은 하한에 m = (C_ox + C_it)/C_ox 를 곱한 만큼입니다. 게이트 전압이 표면 전위와 절연막 몫으로 나뉘고, 계면에 붙들린 전하가 몫을 더 가져가면 채널에 닿는 전압이 줄어 곡선이 눕습니다.
• 온 전류·오프 전류·그 비는 모두 읽는 조건이 값의 일부인 정의값입니다. 로그 축에서는 비가 세로로 벌어진 칸수로 바로 읽힙니다. 비정질 실리콘 박막 트랜지스터의 온·오프비로 10⁶~10⁸ 이 소개됩니다.
• 액정 화소의 스위치에서 오프 전류가 작아야 하는 이유는 담아 둔 전하가 다음 차례까지 남아야 하기 때문입니다. 그 오프 전류는 문턱 아래 전도·절연막 터널링·접합 터널링·빛에 의한 전류가 겹친 합입니다.

지금까지 문턱전압과 문턱 아래 기울기로 켜지는 자리와 켜지는 모양을 보았습니다. 다음 편은 켜진 뒤의 이야기로 넘어가, 채널 속 캐리어가 얼마나 잘 움직이는지를 나타내는 이동도를 전달 곡선에서 어떻게 끌어내는지를 봅니다.

참고 자료

• Subthreshold slope — Wikipedia : 문턱 아래 구간의 로그-선형 거동, decade 가 드레인 전류 10배 증가를 뜻한다는 정의, S = ln(10)(kT/q)(1 + C_d/C_ox) 와 그 최소값 ln(10)kT/q(300 K 에서 60 mV/dec), 축소된 소자의 상온 실측 약 70 mV/dec
• Subthreshold conduction — Wikipedia : 문턱전압 아래에서도 소스·드레인 사이에 전류가 이어진다는 정의와, 그 로그-선형 기울기가 스위칭 효율의 지표로 쓰인다는 서술
• Thermal voltage — Wikipedia : V_T = kT/q 의 정의와 300 K 에서 약 25.85 mV
• Tunnel field-effect transistor — Wikipedia : 캐리어의 열적 맥스웰–볼츠만 꼬리가 문턱 아래 스윙을 상온에서 약 60 mV/decade 로 제한한다는 서술과, 이것이 전력 축소의 근본 한계라는 기술
• A. Beckers, F. Jazaeri, C. Enz, "Revised theoretical limit of subthreshold swing in field-effect transistors" — arXiv:1811.09146 : 이 하한을 볼츠만 한계로 부르며 극저온에서 그로부터 벗어나는 온도 의존 한계를 보고
• H. Bohuslavskyi et al., "Cryogenic Subthreshold Swing Saturation in FD-SOI MOSFETs described with Band Broadening" — arXiv:1903.05409 : S = m·ln10·kT/e 와 m = (C_ox + C_it)/C_ox ≥ 1 의 정의, 게이트 전압이 표면 전위와 절연막 몫으로 나뉜다는 관계식, m = 1.14·1.23 실측, 4.3 K 에서 7.3 mV/dec, 작은 스윙이 높은 온·오프비로 이어진다는 서술
• Organic field-effect transistor — Wikipedia : 온·오프 전류비가 소자를 끌 수 있는 능력을 나타낸다는 서술과 비정질 실리콘 TFT 의 10⁶~10⁸
• Leakage (electronics) — Wikipedia : 반도체 누설 경로 목록 — 절연 영역을 통한 양자 터널링, 문턱 아래 전도, 게이트 산화막 터널링, 고농도 도핑 PN 접합의 터널링, 배선 간 누설
• Indium gallium zinc oxide — Wikipedia : 매우 낮은 누설 전류, 다시 쓰지 않고 화면 정보를 유지해 소비 전력을 5분의 1~10분의 1 로 낮춘다는 서술, 광자 에너지 3 eV 이상에서 뚜렷해지는 광 민감성
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