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블로그 · TFT 특성 파라미터

TFT 특성 파라미터 #04 — 문턱전압과 트랜스컨덕턴스

2026년 10월 23일·조회 17·댓글 0

시리즈TFT 특성 파라미터·4 / 8편

앞의 세 편에서 곡선 읽는 법을 익혔습니다. 출력 곡선으로 드레인 전압이 하는 일을, 전달 곡선으로 게이트 전압이 하는 일을 보았습니다. 지난 편에서는 그 곡선에서 뽑아낸 숫자가 정의값이라는 것 — 방법과 조건을 함께 적지 않으면 비교할 수 없다는 것을 확인했습니다.

이 편은 한 칸 더 들어갑니다. 소자가 켜지는 지점과 얼마나 민감하게 반응하는가를 어떻게 숫자로 적는지 봅니다. 앞의 것이 문턱전압 Vth, 뒤의 것이 트랜스컨덕턴스 gm입니다. 순서는 뒤집어 gm부터 세웁니다. 문턱전압을 뽑는 방법 하나가 gm을 도구로 쓰기 때문입니다.

답해야 할 질문은 하나입니다. 「켜진다」와 「잘 반응한다」를 누가 읽어도 같은 뜻이 되는 숫자로 적는 법입니다.

본문의 조건 값은 계산 과정을 보이기 위한 예시이며 특정 회사의 사양이 아닙니다. 인용한 수치는 모두 공개 문헌에서 확인한 값이고 출처를 글 끝에 남깁니다.

트랜스컨덕턴스 — 전달 곡선의 기울기

영문 위키백과 「Transconductance」 문서는 트랜스컨덕턴스를 소자의 출력을 흐르는 전류를 입력에 걸린 전압과 관련짓는 전기적 특성으로 정의하고 식을 이렇게 적습니다.

gm = ΔIout / ΔVin

트랜지스터로 옮기면 입력은 게이트 전압, 출력은 드레인 전류입니다.

gm = ∂IDS / ∂VGS

분자가 드레인 전류의 변화, 분모가 게이트 전압의 변화입니다. 산화아연 박막 트랜지스터의 문턱전압 추출 논문(DOI 10.3390/ma16082940)도 같은 식을 씁니다.

#02 편의 전달 곡선은 가로축이 게이트 전압, 세로축이 드레인 전류였습니다. 그러니 gm은 새 물리량이 아니라 그 곡선의 기울기입니다. 곡선을 한 점씩 따라가며 기울기를 재어 다시 그리면 gm 곡선이 됩니다.

단위가 뜻을 알려 준다

gm의 단위는 지멘스(siemens, 기호 S)입니다. 위키백과 「Siemens (unit)」 문서는 1 지멘스가 1 옴의 역수이며 암페어 나누기 볼트와 같다고 적고, 뜻을 이렇게 풀어 놓았습니다 — 컨덕턴스가 1 지멘스인 소자는 전위차가 1 볼트 늘 때마다 전류가 1 암페어 늘어납니다.

트랜지스터로 옮기면 gm의 의미가 그대로 나옵니다. gm이 크다는 것은 게이트 전압을 조금 움직였을 때 드레인 전류가 많이 움직인다는 뜻 — 입력의 변화를 출력의 변화로 바꾸는 능력입니다.

「Transconductance」 문서는 아래첨자 m이 mutual(상호)에서 왔다고 적습니다. 입력과 출력이 다른 단자에 있어서 붙은 이름으로, 한 단자 안에서 전압과 전류의 비를 보는 보통의 컨덕턴스와 구분하려는 표기입니다.

쓰임은 둘로 갈립니다. 증폭기로 쓸 때 gm은 이득의 근원입니다 — 입력 전압의 작은 흔들림이 출력 전류의 큰 흔들림으로 바뀌는 비율이 곧 gm입니다. 스위치로 쓸 때는 같은 값이 켜지는 기세를 좌우합니다. 목표 전류에 닿는 데 게이트 전압을 얼마나 밀어야 하는지가 gm으로 정해집니다.

전달 곡선과 그 기울기인 트랜스컨덕턴스 곡선 — 같은 측정에서 곡선을 미분하면 g_m 곡선이 되고 g_m 이 최대가 되는 지점이 생긴다

영역이 바뀌면 식도 바뀐다

gm이 기울기라면 전류식을 미분해서 gm의 식을 얻을 수 있습니다. 그런데 #01 편에서 보았듯 드레인 전류의 식은 영역마다 다릅니다. 위키백과 「MOSFET」 문서가 싣고 있는 두 식을 그대로 가져옵니다.

선형 영역

조건은 VGS > Vth 이면서 VDS < (VGS − Vth)입니다.

ID = μ Cox (W/L) [ (VGS − Vth) VDS − VDS2 / 2 ]

기호를 풀면 이렇습니다. μ는 캐리어의 이동도, Cox는 게이트 절연막의 단위 면적당 용량, W는 채널의 폭, L은 길이입니다. W/L은 #03 편에서 본 치수 정규화의 그 비율입니다.

VGS로 미분합니다. 괄호 안에서 VGS가 든 항은 앞의 것 하나이고 일차입니다.

gm,lin = μ Cox (W/L) VDS

결과에 VGS가 없습니다. 이 식대로라면 선형 영역의 gm은 게이트 전압과 무관한 상수이고 대신 VDS에 비례합니다.

포화 영역

조건은 VGS > Vth 이면서 VDS ≥ (VGS − Vth)입니다. 「MOSFET」 문서는 이 지점을 핀치오프라 부르고 드레인 쪽에 채널이 없어지는 상태로 설명합니다.

ID = ( μ Cox / 2 ) (W/L) (VGS − Vth)2 ( 1 + λ VDS )

λ는 채널 길이 변조를 담는 항입니다. 그것을 빼고(λ = 0) 미분합니다. 제곱을 미분하면 지수 2가 앞으로 나와 2로 나눈 것과 상쇄됩니다.

gm,sat = μ Cox (W/L) (VGS − Vth)

이번에는 VGS가 남았습니다. 포화 영역의 gm은 게이트 전압에 비례해 커집니다. 선형 영역에서 상수였던 것이 여기서는 직선이 됩니다. 어느 영역에서 잰 값인지를 밝히지 않으면 gm 하나도 비교할 수 없습니다.

(VGS − Vth)를 오버드라이브 전압 VOV, 곧 문턱을 넘어선 만큼이라 부릅니다. 포화 전류식을 gm,sat로 나누면 이렇게 됩니다.

gm,sat = 2 ID / VOV

미분해 얻은 식이 위키백과 「Transconductance」 문서의 식과 맞아떨어집니다.

숫자로 한 번

이 글은 다음을 가정하고 계산합니다. 이동도 μ = 10 cm2/V·s, 게이트 절연막은 이산화규소 100 nm, W/L = 20 입니다.

Cox부터 구합니다. 위키백과 「Relative permittivity」 문서는 이산화규소의 비유전율을 3.9로, 「Vacuum permittivity」 문서는 진공 유전율을 8.8541878188 × 10−12 F/m(= 8.854 × 10−14 F/cm)으로 적습니다. 평행판 용량 C = ε / d 에 넣습니다.

Cox = 3.9 × 8.854 × 10−14 ÷ (100 × 10−7 cm) = 3.45 × 10−8 F/cm2

앞부분을 한 덩어리로 묶습니다. μ Cox (W/L) = 10 × 3.45 × 10−8 × 20 = 6.9 × 10−6 A/V2입니다.

  • 선형 영역에서 VDS = 0.1 V로 재면 gm,lin = 6.9 × 10−6 × 0.1 = 0.69 μS입니다.
  • 포화 영역에서 VOV = 5 V라면 gm,sat = 6.9 × 10−6 × 5 = 34.5 μS입니다.

같은 소자인데 50배 차이입니다. 검산도 맞습니다. ID = ½ × 6.9 × 10−6 × 52 = 86.3 μA, 2 ID / VOV = 34.5 μA/V 로 위와 같습니다. 34.5 μS란 게이트 전압을 1 V 올릴 때 드레인 전류가 34.5 μA 는다는 뜻입니다.

문턱전압을 뽑는 세 가지 방법

이제 켜지는 지점입니다. 위키백과 「Threshold voltage」 문서는 문턱전압을 소스와 드레인 사이에 전도 경로를 만드는 최소 게이트·소스 전압으로 정의합니다.

정의는 한 줄인데 재는 일은 한 줄이 아닙니다. 「Threshold voltage」 문서가 이유를 적습니다 — 문턱 아래에서도 누설 전류가 흘러 참된 켜짐·꺼짐 전이가 없기 때문입니다. 곡선 어디에도 "여기서부터 전도 경로가 생겼다"는 표시가 없습니다. 그래서 사람이 규칙을 정해 한 점을 지목합니다.

① 선형 외삽

어떻게 하는가. 선형 영역에서 전달 곡선을 그리고, gm이 최대가 되는 점에 접선을 긋습니다. 그 직선이 전류 0인 가로축과 만나는 게이트 전압을 읽습니다.

무엇을 가정하는가. 위의 선형 영역 식이 그대로 성립한다고 봅니다. 그 식을 VGS의 함수로 정리하면 직선이고, 전류가 0이 되는 지점은 VGS = Vth + VDS/2 입니다. 절편이 문턱전압보다 VDS/2 만큼 크게 나오므로 읽은 값에서 그만큼을 빼야 합니다. 드레인 전압을 아주 작게 거는 이유가 여기 있습니다 — 보정할 양 자체를 줄이는 것입니다.

언제 어긋나는가. 방금 미분에서 선형 영역의 gm은 상수였고, 상수에는 최대점이 없습니다. 실제 곡선에 봉우리가 생긴다는 것 자체가 이 식이 그대로 맞지 않는다는 신호입니다. 게이트 전압이 높아지면 이동도가 떨어지고 접촉 저항이 커져 기울기가 다시 내려가면서 봉우리가 만들어집니다. 봉우리의 자리가 소자의 비이상성에 달려 있으니 절편도 따라 움직입니다. 게이트 전압이 접촉 저항을 함께 조절하는 문제를 다룬 논문(arXiv:2404.19022)은 이 효과를 넣지 않은 기존 추출법이 이동도를 2배 넘게 과대평가할 수 있다고 보고합니다.

앞서 든 산화아연 논문이 이것을 수치로 보여 줍니다. 같은 소자를 선형 피팅으로 뽑되 맞추는 범위를 40 V까지로 하면 25 V인데, 60 V·80 V까지로 늘리면 36 V·42 V로 커졌습니다. 소자는 그대로이고 자를 댄 구간만 바꾼 결과입니다.

② 일정 전류

어떻게 하는가. 기준 전류를 정해 두고 드레인 전류가 그 값에 닿는 게이트 전압을 문턱전압으로 삼습니다. 곡선에 가로줄을 긋고 만나는 점입니다.

위키백과 「Threshold voltage」 문서도 이 방식을 적습니다. 데이터시트가 측정 가능한 전류값을 정해 그 전류에서의 전압으로 문턱전압을 적는다는 것입니다. 예로 드는 값은 250 μA와 1 mA입니다.

무엇을 가정하는가. 기준 전류 하나로 여러 소자를 비교할 수 있다는 것입니다. 그런데 전류식에 W/L이 곱으로 들어 있어, 폭이 두 배인 소자는 같은 게이트 전압에서 전류가 두 배입니다. 절대값 하나를 모든 치수에 쓰면 넓은 소자가 먼저 그 줄에 닿아 문턱전압이 낮게 나옵니다. 그래서 기준 전류를 Iref = (W/L) × I0 꼴로 적습니다.

언제 어긋나는가. I0를 무엇으로 두느냐가 사람의 선택입니다. 문턱 아래 기울기가 완만한 소자와 가파른 소자를 같은 가로줄로 자르면, 줄의 높이를 조금만 옮겨도 두 소자의 값 차이가 달라집니다. 곡선의 모양이 다르면 한 줄의 높이가 두 소자에 같은 뜻을 갖지 않습니다.

대신 장점이 분명합니다. 미분도 접선도 필요 없어 곡선 하나에서 바로 읽힙니다.

③ 제곱근 외삽

어떻게 하는가. 포화 영역에서 전달 곡선을 재고 세로축을 전류의 제곱근으로 바꿔 다시 그립니다. 그 그래프의 곧은 구간에 직선을 맞춰 가로축과 만나는 점을 읽습니다.

무엇을 가정하는가. 포화 전류식이 (VGS − Vth)의 제곱이라는 점입니다. 양변에 제곱근을 씌웁니다.

√ID = √( μ Cox W / 2L ) × (VGS − Vth)

오른쪽은 VGS에 대한 일차식입니다. √ID가 0이 되는 지점은 정확히 VGS = Vth입니다. 선형 외삽과 달리 빼 줄 보정항이 없습니다. 기울기에서 μ까지 뽑히니 한 번의 외삽으로 두 파라미터가 나옵니다.

언제 어긋나는가. 제곱 법칙이 전제입니다. 이동도가 게이트 전압에 따라 변하면 √ID 는 직선이 아니라 완만한 곡선이 됩니다. 곡선에 자를 대는 순간 ①과 같은 문제가 되돌아옵니다 — 어느 구간에 맞추느냐에 따라 절편이 달라집니다.

문턱전압 추출 세 가지 방법 비교 — 선형 외삽·일정 전류·제곱근 외삽이 각각 무엇을 하고 무엇을 가정하며 어디서 어긋나는지

세 방법은 같은 답을 주지 않는다

세 방법은 서로 다른 것을 잽니다.

  • 선형 외삽 — 기울기가 가장 가파른 곳. 충분히 켜진 구간의 성질입니다.
  • 일정 전류 — 정해 둔 전류 높이. 켜지는 도중의 한 점입니다.
  • 제곱근 외삽 — 포화 영역의 제곱 법칙. 드레인 전압이 크게 걸린 상태의 성질입니다.

기준이 다르면 답이 다릅니다. 조건도 다릅니다 — 선형 외삽은 드레인 전압을 아주 작게 걸고 제곱근 외삽은 크게 겁니다. #03 편에서 보았듯 드레인 전압은 곡선의 모양 자체를 바꿉니다.

그래서 「이 소자의 문턱전압은 얼마인가」에는 답이 하나로 정해지지 않습니다. "선형 영역에서 VDS = 0.1 V로 선형 외삽한 값"처럼 방법과 조건을 붙여야 답이 됩니다. 그것을 밝히지 않은 문턱전압 둘을 견주는 일은 서로 다른 자로 잰 길이를 비교하는 일입니다. 값이 틀린 것이 아니라 비교가 성립하지 않습니다.

문턱전압은 소자에 새겨진 상수가 아니다

방법을 고정해도 값이 가만히 있지 않습니다.

온도. 위키백과 「Threshold voltage」 문서는 문턱전압의 온도 변화를 도핑 농도에 따라 −4 mV/K에서 −2 mV/K 사이로 적습니다. 부호가 음수이니 뜨거워질수록 내려갑니다. 50 K 차이면 0.1 V에서 0.2 V가 움직입니다.

바이어스 이력. 게이트에 전압을 오래 걸어 두면 그 자체가 소자를 바꿉니다. 위키백과 「Bias temperature instability」 문서는 음의 게이트 바이어스와 높은 온도에서 계면의 결합이 끊어져 트랩이 생기고, 그 결과 문턱전압이 올라가고 드레인 전류가 줄어든다고 기술합니다. 이동량은 ΔVth(t) = A · tn 꼴로 근사되고, 계수 A는 전계·절연막 두께·온도의 영향을 받습니다. 응력을 거두면 부분적으로 회복된다고, 다만 회복이 완전하지 않다고 덧붙입니다.

기판 전압. 「Threshold voltage」 문서는 소스·기판 사이 전압이 문턱전압을 바꾸는 바디 효과를 싣고, 기판이 두 번째 게이트처럼 작용한다고 설명합니다. 회로 안에서 소스가 접지에서 떠 있으면 그 소자의 문턱전압은 옆 소자와 같지 않습니다.

빛도 문턱전압을 움직이지만 그것은 재료와 결함의 이야기라 이 시리즈의 범위를 넘습니다. 다른 시리즈에서 다루겠습니다.

문턱전압은 측정하는 순간의 조건에 붙어 있는 값입니다. "방법을 밝힌다"에 "언제·어떤 상태에서 쟀는가"가 하나 더 붙습니다.

문턱전압을 움직이는 세 가지 축 — 온도 계수 −4~−2 mV/K, 바이어스 이력에 따른 거듭제곱 이동과 부분 회복, 기판 전압에 의한 바디 효과

정리

  • gm = ∂IDS/∂VGS는 전달 곡선의 기울기이고, 단위 지멘스가 "1 V 올릴 때 전류가 몇 A 느는가"를 뜻합니다.
  • 선형 영역의 gm은 게이트 전압과 무관하고 포화 영역의 gm은 게이트 전압에 비례합니다. 예시 조건에서 0.69 μS와 34.5 μS로 50배 차이였습니다.
  • 선형 외삽·일정 전류·제곱근 외삽은 기준이 서로 다릅니다. 선형 외삽은 절편에서 VDS/2를 빼야 하고, 제곱근 외삽은 절편이 곧 Vth입니다.
  • 그래서 답이 서로 다릅니다. 자를 댄 구간만 바꿔 25·36·42 V가 나온 보고가 있습니다. 방법과 조건을 적지 않은 문턱전압은 비교 대상이 되지 못합니다.
  • 문턱전압은 고정된 성질도 아닙니다. 온도·바이어스 이력·기판 전압에 따라 움직이고, 회복도 완전하지 않습니다.

다음 편은 그 기울기 안에 든 이동도를 어떻게 끄집어내는지, 그 값이 왜 재료의 상수가 아닌지를 봅니다.

참고 자료

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