从半导体到晶体管 #04 — 二极管与电容器：一个结里长出的两种元件

上一篇造了一个 PN 结，并确认了两件事——正向导通、反向阻断，以及耗尽层的厚度随所加电压而变。

从这两件事里各长出一种看上去毫不相干的元件：二极管与电容器。本篇就沿着这两条分岔走。最后再看这两者如何在画面上的一个像素里相遇。

正文中的条件值是为展示原理而举的例子，并非某家公司的规格。所引用的数值与表述全部是在公开文献中核实过的，出处列于文末。

二极管——挑方向的元件

把 PN 结的电流对电压画出来，会得到左右完全不同的曲线。左边（反向）贴在底部，右边（正向）从某一点起近乎垂直地冲上去。

看维基百科《Diode》条目所载的正向阈值电压表

• 硅 p–n 结 0.6 ~ 0.7 V
• 锗 p–n 结 0.25 ~ 0.3 V

这就是搞电路的人背下来的"硅二极管是 0.7 V"这个值。

"到了阈值就突然打开"是一种错觉

看曲线，像是在 0.7 V 处开关啪地合上了。可式子并不是这样。

维基百科《Shockley diode equation》条目把二极管电流写成这样。

I = I_S ( e^{V / nV_T} − 1 )

I_S 是反向饱和电流，n 是理想因子，V_T 是热电压。里面只有一个指数，哪里都没有阈值。电流不是从 0 跳起来的，而是一直随电压呈指数增长。

为什么看起来那么陡，由 V_T 的大小来解释。维基百科《Thermal voltage》条目写道，300 K 下 V_T 为约 25.852 mV。这与上一篇算出的 kT 0.0259 eV 是同一个值——因为它就是同一个量用电压单位写出来的。

这个小小的值处在指数的分母上。电压每升高 0.0259 V，指数就增加 1，电流就变成约 2.7 倍。

要让电流变成十倍，指数得增加 ln 10 = 2.303，所以需要的电压是

2.303 × 25.852 mV = 约 59.5 mV

也就是每 60 mV 电流增大十倍。这是本篇用得最多的一个概数。

代入数字把曲线画出来

直接代进去看看。本文假定 I_S = 1 × 10^-12 A、n = 1 来计算——这是为展示计算过程而举的例值，并非某个具体元件的值。《Shockley diode equation》条目写明理想因子 n 在 1 到 2 之间，所以 n = 1 是它的下端。

还有一项可以甩掉。《Shockley diode equation》条目写道，正向电压达到一定程度时指数项远大于 1，于是式中的 −1 可以忽略。这样就只剩下 I ≈ I_S e^V/V_T。以 0.1 V 为步长往上代入

• 0.4 V → 指数 15.5，e^15.5 ≈ 5.2 × 10⁶ → I ≈ 5.2 μA
• 0.5 V → 指数 19.3，e^19.3 ≈ 2.5 × 10⁸ → I ≈ 0.25 mA
• 0.6 V → 指数 23.2，e^23.2 ≈ 1.2 × 10¹⁰ → I ≈ 12 mA
• 0.7 V → 指数 27.1，e^27.1 ≈ 5.7 × 10¹¹ → I ≈ 0.57 A

从 0.4 V 升到 0.7 V，仅仅 0.3 V 之间，电流就从 5.2 μA 变成了 0.57 A，是11 万倍。用前面的概数算，0.3 V ÷ 59.5 mV ≈ 5，即五个数量级，也就是 10 万倍——对得上。

现在就清楚为什么它看起来像个阈值了。设想把这条曲线画在纵轴 0~1 A 的刻度上。0.5 V 时的 0.25 mA 只有刻度的四千分之一，埋在线的粗细里；0.4 V 以下则看着贴在底部。然后到 0.6 V 与 0.7 V 就猛地窜了上去。并不是器件突然打开了，而是它之前的部分看不见罢了。《Diode》条目也写道，把纵轴改画成对数后，拐点就消失了，可见那一段并没有什么特别之处。

反向时数值为什么就停住了

把负数代进肖克利式，另一边的故事就出来了。V = −1 V 时指数是 −38.7，而 e^-38.7 在 10^-17 的量级上，实际上等于 0。括号里只剩 (0 − 1) = −1，于是

I ≈ −I_S = −1 pA

再往下到 −2 V、−5 V，指数项早已是 0，结果也不会变。电压升高电流却不增加，这就是上一篇所说"反向饱和"的意思。

不过 I_S 并不是固定的常数。《Shockley diode equation》条目写道，I_S 随温度变化，而且这一变化比 V_T 的变化更大，因此温度一升，流过同样电流所需的电压反而降低。《Diode》条目也记述，处在微安量级的反向电流在温度足够高时可以升到毫安以上。

这种左右不对称正是二极管的用处本身。《Diode》条目写道，这种只往一个方向流的性质被用来把交流变成直流，这称为整流（rectification）。

表中锗的阈值低，说的也是同一回事。带隙窄，同样电压下流过的电流多得多，所以在刻度上早早就现身了。可正因如此，反向漏电也大。把阈值降下来与把漏电减下去，永远是要互相折中的一对。

电容器——把阻断的那一层反过来用

现在看另一边。反向加压把电流挡住之后，那个器件变成了什么呢。

电容器是把电装起来的元件。最简单的形式是在两块金属板之间夹一层不导电的物质。维基百科《Capacitor》条目把电容定义为 C = Q / V，即两个导体上所带的电荷 Q 与其间电压 V 之比。同样的电压下装进更多电荷，电容就大。

若极板平整且平行，电容由形状决定。《Capacitor》条目把平行板电容器的电容写成这样。

C = ε A / d

ε 是所夹物质的介电常数，A 是相对的面积，d 是间距。《Capacitor》条目记述，介电常数越高、面积越大、间距越窄，电容就越大。请记住间距是在分母上。

再来看反向的 PN 结。

• P 型区——空穴多，是导电的。这是一块极板。
• N 型区——电子多，是导电的。这是另一块极板。
• 两者之间的耗尽层——没有可迁移的载流子，不导电。这就是夹进去的介质。

形状正好就是平行板电容器。为阻断电流而生成的那一层，原样充当了介质。这个电容称为结电容。

用电压来改变电容

上一篇最后那句话在这里活了过来。耗尽层厚度与 (V_bi − V) 的平方根成正比。那个厚度在这里就是 d。

反向电压一大，d 就变大。而 d 在分母上，所以电容变小。维基百科《Varicap》条目用两句话把这归纳了——反向偏置的大小控制耗尽区的厚度与结电容，而电容与所加电压的平方根成反比。

能用电压改变数值的电容器，就成了一种元件。《Varicap》条目把变容（varicap）二极管定义为设计用来利用反向 PN 结的电压依赖电容的二极管。用电压而不是旋钮来调收音机频率的电路用的就是它。

代入数值，得到的是 pF 量级

上一篇实际算过耗尽层的厚度。什么也不加时是 430 nm，反向 5 V 时是 1,215 nm。把那些值原样放到这里 d 的位置上，电容就出来了。

介电常数是 ε = ε_r ε₀。把维基百科《Relative permittivity》条目中硅的相对介电常数 11.68 乘以 ε₀ = 8.854 × 10^-12 F/m，

ε = 11.68 × 8.854 × 10^-12 = 1.03 × 10^-10 F/m

面积就假定为 100 μm 见方，即 A = 10^-8 m²。现在代入。

• 不加电压时 → C = 1.03 × 10^-10 × 10^-8 ÷ (4.3 × 10^-7) = 2.4 pF
• 反向 5 V → C = 1.03 × 10^-10 × 10^-8 ÷ (1.215 × 10^-6) = 0.85 pF

这落在《Varicap》条目所记早期变容二极管的电容范围 1~10 pF 之内。100 μm 见方就能出这么大的电容，是因为 d 是纳米量级。

要把电容减半得加多少电压呢。d 得翻一倍，而 d 是 (V_bi − V) 的平方根，所以括号里得变成四倍。

V_bi − V = 4 × 0.716 = 2.864 → V = 0.716 − 2.864 = −2.15 V

反向 2.15 V 电容就减半。《Varicap》条目举出用这一性质的电路是压控振荡器与频率合成器，并写道它被用于调收音机、电视和手机的频率。

不用它，它也跟着来

反过来说，这就成了更要紧的事实。只要有结的地方，不想要电容器也会长出来。

开关每开一次关一次，都得把这个电容充满再放空。那段时间就是延迟。

要花多久也能算出来。《Capacitor》条目写道，经电阻充电时电压遵循 V(t) = V₀(1 − e^−t/τ)，而 τ = RC 是它的时间常数。取 2.4 pF，把布线电阻假定为 1 kΩ，则

τ = 10³ × 2.4 × 10^-12 = 2.4 × 10^-9 s，即 2.4 ns

要充到目标电压的 99%，e^−t/τ 得变成 0.01，于是 t = τ × ln 100 = 4.6τ，即约需 11 ns。把器件做快这件事，很大一部分并不是提高性能，而是减小这个跟着来的电容，原因就在这里。

从装电的一边看，同样的电容却是资产。把 2.4 pF 与 5 V 代进《Capacitor》条目所写的储能式 W = ½ C V²，得 3.0 × 10^-11 J，即 30 pJ。同一个元件既是拖慢信号的包袱，也是留住数值的容器。

材料的选择也系于此。《Relative permittivity》条目的表把硅的相对介电常数记为 11.68，二氧化硅记为 3.9。相差三倍。想装电的地方用介电常数大的材料，想减小附带电容的地方用小的。

两者在画面的像素里相遇

最后只看一处，看看走到这里的这些元件都在哪里：液晶画面的一个像素。

画面是一行一行画出来的。维基百科《Thin-film-transistor liquid-crystal display》条目记述，像素按行与列寻址，把数百万条连接减到数千条，而行与列的布线接到每个像素各配一个的晶体管开关上。栅线一次把一整行的开关打开，数据线上送来的亮度值就进入那一行的各像素。然后开关关闭。

问题出在之后。开关关闭后，直到下一轮轮到它为止，像素与外界是断开的，而这期间要维持亮度，就必须把数值存在某个地方。

先看看那段时间有多长。维基百科《Refresh rate》条目把刷新率定义为画面每秒显示多少次新图像，并写道液晶显示器多固定在每秒 60 帧。用 60 去除，一帧就是约 16.7 ms，而一个像素在这期间必须独自把数值攥住。

液晶层本身也夹在两个电极之间，所以它也是电容器。《Refresh rate》条目写道，与阴极射线管不同，液晶画面的像素只要供电就维持其状态。但光靠它装的量还不够。因为即便开关关着也有极小的漏电流流过，装进去的电荷会一点点漏掉，亮度就变淡。

淡多少，把前面的 C = Q/V 倒过来就出来了。电荷漏掉 ΔQ，电压就降 ΔQ/C；漏电流 I 流了 Δt 的话 ΔQ = I·Δt，所以

ΔV = I × Δt ÷ C

把漏电流假定为 1 pA，电容取前面算出的 2.4 pF（两者都是为展示计算而举的例值）。

ΔV = 10^-12 × 16.7 × 10^-3 ÷ (2.4 × 10^-12) = 约 7 mV

一帧之间流走 7 mV。若电容只有十分之一即 0.24 pF，同样的算法会掉 70 mV。因为分母上有 C。容器越大，漏掉同样多的量，刻度动得越少。

所以要再加一个电容器。IntechOpen 上刊载的有源矩阵液晶显示解说（DOI 10.5772/9686）在讲解像素等效电路时记述，存储电容与液晶像素电容并联连接。

归纳起来，一个像素就是这样。

• 开关——决定什么时候写。这就是薄膜晶体管。
• 电容器——把写进去的值攥到下一轮。

《Thin-film-transistor liquid-crystal display》条目还写道，多亏晶体管只让电流往一个方向通过的性质，加在像素上的电荷不会在两次刷新之间漏掉。刚才讲的二极管的单向性质，在画面里做的就是这件事。而条目也记述，做这个开关的材料以非晶硅薄膜晶体管用得最广——正是第 1 篇里说迁移率只有约 1 的那种材料。

迄今看过的各条原理，全都装在这个小小的方块里。有结，有耗尽层，有漏电流，也有装电荷的那一层。

小结

• 二极管的电流没有阈值。它只是个指数函数，只因分母上的热电压小到约 25.852 mV，每 60 mV 就增大十倍，所以看着像阈值。硅的表观阈值是 0.6~0.7 V。
• 代入例值，0.4 V 时是 5.2 μA，0.7 V 时是 0.57 A，相差 11 万倍。只是刻度显不出它之前的部分罢了。
• 反向的结就是电容器。P 型与 N 型是极板，耗尽层是介质，电容遵循 C = εA/d。
• 由于反向电压决定间距，电容便可由电压调节——专门用这一点的元件就是变容二极管。
• 把上一篇的耗尽宽度 430 nm 与 100 μm 见方代入，结电容是 2.4 pF，反向 5 V 时为 0.85 pF。要把电容减半所需的反向电压是 2.15 V。
• 反过来说，有结的地方就附带来不想要的电容，而它限制了器件的速度。2.4 pF 配 1 kΩ 则 τ = RC = 2.4 ns，充到 99% 约需 11 ns。
• 一个液晶像素由一个开关和一个电容器构成。

到这里是本系列的开篇部分。我们从材料出发，经过结，走到了元件。接下来要转向端子不是两个而是三个的器件——不是把流动开开关关，而是把它调节起来的晶体管。

参考资料

• Diode — Wikipedia ：正向阈值电压——硅 p–n 0.6~0.7 V、锗 p–n 0.25~0.3 V，纵轴画成对数后拐点消失这一表述，单向特性即整流这一表述，反向电流在高温下增大到毫安以上这一表述
• Shockley diode equation — Wikipedia ：I_D = I_S(e^V_D/nV_T − 1) 与各项的定义，理想因子 n 为 1~2 这一表述，正向可忽略 −1 这一表述，I_S 随温度的变化大于 V_T 这一表述
• Thermal voltage — Wikipedia ：V_T = kT/q 的定义，300 K 下约 25.85 mV
• Capacitor — Wikipedia ：C = Q/V，平行板 C = εA/d 与介电常数高、面积大、间距窄时电容最大这一表述，储能 W = ½CV²，时间常数 τ = RC 与充电式 V(t) = V₀(1 − e^−t/τ)
• Varicap — Wikipedia ：反向偏置控制耗尽厚度与结电容、电容与所加电压的平方根成反比这一表述，变容二极管的定义，早期变容二极管电容约 1~10 pF，压控振荡器与频率合成器的用途
• Depletion region — Wikipedia ：耗尽宽度与 (V_bi − V) 的平方根成正比这一关系式——电容计算所用厚度的出处
• Relative permittivity — Wikipedia ：相对介电常数表——硅 11.68，二氧化硅 3.9
• Refresh rate — Wikipedia ：刷新率的定义，液晶显示器大多固定在每秒 60 帧这一表述，液晶像素只要供电就维持状态这一表述
• Thin-film-transistor liquid-crystal display — Wikipedia ：行列寻址与每个像素配一个的晶体管开关，晶体管的单向特性阻止刷新之间的电荷流失这一表述，非晶硅 TFT 用得最广这一表述
• Active-Matrix Liquid Crystal Displays, IntechOpen (DOI 10.5772/9686) ：像素等效电路中存储电容与液晶像素电容并联连接这一记述
• ※ 上述清单中引自 Wikipedia 条目的部分遵循 CC BY-SA 4.0 许可协议。