TFT 特性参数 #05 — 阈值以下的斜率与导通·关断比

上一篇我们用三种方法取出了阈值电压。三个数值出自同一条曲线，改变的不是器件，而是关于从哪里读取的约定。

阈值电压回答的是“在哪里导通”。不过，对一个开关还可以再提一个问题——导通与关断有多干净利落。阈值电压相同的两个器件，对这个问题可能给出完全不同的答案。一个在很窄的电压范围内一口气导通，另一个则在很宽的电压范围内松散地导通。

本篇要看的是衡量这种“干净”的两个数字：阈值以下区间的斜率，以及导通电流与关断电流之比。前者衡量导通过程有多陡峭，后者衡量导通状态与关断状态相距多远。

正文中的条件数值是为了展示计算过程的示例，并非某家公司的规格。所引用的数值均在公开文献中核对过，出处列于文末。

阈值以下斜率 —— 跨越一个数量级所需的电压

在 #02 中我们把转移曲线放到了对数坐标上。四个区间中的第二个，也就是阈值以下区间，是一条直线。因为对指数函数取对数就会变成直线。

既然是直线，斜率就可以写成一个数字。维基百科 《Subthreshold slope》条目把这一区间视为场效应晶体管电流-电压特性的一种性质，并写道电流相对于栅极电压呈对数-线性变化。这个斜率被称为阈值以下斜率（subthreshold slope）。

实际写下数值时，用的不是斜率本身，而是它的倒数。这就是阈值以下摆幅（subthreshold swing），单位是 mV/decade。《Subthreshold slope》条目把这里所说的 decade 定义为漏极电流增大到 10 倍。

这样一来，含义便可用一句话概括。

• 阈值以下摆幅 = 让电流增大十倍所需的栅极电压

只要把单位读开就明白了。若是 60 mV/decade，栅极电压每升高 0.06 V，电流就增大十倍。若是 600 mV/decade，要得到同样的十倍则需要 0.6 V。

名字里带着“斜率”，却是越小越好

名称中含有斜率二字，但数值越小曲线越陡。因为写下的是倒数而不是斜率。初次看到时容易卡住，所以在此点明一次。

为什么小的一侧更好，代入数字就一目了然。假设从关断状态到导通状态，电流上升六个数量级。

• 100 mV/decade 的器件 —— 0.1 V × 6 = 0.6 V
• 300 mV/decade 的器件 —— 0.3 V × 6 = 1.8 V

做同样的事要多花三倍电压。开关器件所需的电压会直接成为驱动该器件的电路的电压范围，因此这一差别就是能用多低的电压可靠地开与关的差别。

有一个无法跨过的下限

这里出现了本篇的核心事实。阈值以下摆幅无论做得多好，在室温下都不会低于某个值。

维基百科《Subthreshold slope》条目所载的公式如下。

S = ln(10) · (kT/q) · (1 + C_d/C_ox)

C_d 是耗尽层电容，C_ox 是栅极绝缘膜电容，kT/q 是热电压。注意到括号内不可能小于 1，便可知该式的最小值出现在括号等于 1 的时候。《Subthreshold slope》条目把此时的值记为 S_min = ln(10)·kT/q，称之为热电子发射极限（thermionic limit），并写明在室温 300 K 下为 60 mV/decade。

亲自算一遍

60 这个数字不必背，只是一次乘法。前一系列用过的热电压值可以直接拿来。维基百科 《Thermal voltage》条目写道，在 300 K（27 °C）下 kT/q 约为 25.85 mV。本文按 300 K 计算。

• kT/q = 0.02585 V
• ln 10 = 2.3026
• 0.02585 × 2.3026 = 0.05952 V

约 59.5 mV。文献所说的 60 mV/decade 就是这个数值的四舍五入。

为什么要乘 ln 10，也能用一行说明。热电压是使电流变为 e（约 2.718）倍的电压。而我们计数的单位是十倍，所以要问 e 自乘多少次才等于 10 —— 也就是乘上 ln 10，把它换算成以数量级为单位。

这个下限从何而来

计算简短，根源同样简单。决定这个下限的不是器件的结构，而是温度。

载流子并非都具有相同的能量。它们因热而分布开来，而这个分布在能量高的一侧拖着长长的尾巴。即使关掉栅极竖起势垒，属于这条尾巴的载流子仍会越过势垒。势垒稍稍升高，越过的数量就会减少，但减少的速度由分布决定。

维基百科 《Tunnel field-effect transistor》条目用一句话写下了这一关系 —— 隧穿场效应晶体管不受载流子热麦克斯韦–玻尔兹曼尾部的限制，而正是这条尾部把传统方式器件的阈值以下摆幅在室温下限制在约 60 mV/decade。《Tunnel field-effect transistor》条目把这一点视为功耗缩减的根本极限，并说明该方式通过调制隧穿而非越过势垒的热电子发射来绕开它。

这一极限冠有分布的名字。Beckers、Jazaeri、Enz 的论文（arXiv:1811.09146）正如其标题所示，讨论场效应晶体管阈值以下摆幅的极限，并报告了在极低温下偏离玻尔兹曼极限（Boltzmann limit）的温度相关极限。换句话说，我们在室温下遇到的那个下限就是玻尔兹曼极限。

温度以乘数的形式出现在公式中，反过来读便是 —— 温度降低，下限也随之下降。Bohuslavskyi 等人的测量（arXiv:1903.05409）报告在 4.3 K 下为 7.3 mV/decade。不过，只要屏幕或电路工作在室温，这个下限就无法靠更换材料或修整结构来抹去。

斜率变平缓的原因 —— 因为电压被分掉了

那么实际器件之所以大于 59.5，原因何在呢。只要看看公式里的括号，也就是大于 1 的那个倍数从何而来即可。

Bohuslavskyi 等人的测量论文把摆幅写成 S = m · ln10 · kT/e，并把 m 定义为相对于栅极绝缘膜电容 C_ox 计入界面陷阱电容 C_it 的数。m = (C_ox + C_it)/C_ox，且大于等于 1。m 为 1 时，室温下即为 60 mV/decade。

Bohuslavskyi 等人的论文也写明了栅极电压是如何被使用的。加在栅极上的电压被分成半导体表面的电位和落在绝缘膜上的份额。决定电流的是前者，即表面电位。

原理就显现在这里。栅极电压升高 1，表面电位并不会跟着升高 1。绝缘膜及其界面先拿走自己的份额，剩下的才到达表面。如果界面上能束缚电荷的位置很多，这些位置会先被填满，从而拿走更大的份额。到达沟道的份额减少，于是施加同样的电压，电流的增加也变少 —— 曲线变平缓。

用数字表示就是这样。Bohuslavskyi 等人的论文写道，对他们自己的器件，长沟道得到 m = 1.14，短沟道得到 m = 1.23。相乘可得

• 59.5 × 1.14 ≈ 67.8 mV/decade
• 59.5 × 1.23 ≈ 73.2 mV/decade

这与维基百科所写的“缩小后的器件在室温下的实测值大约为 70 mV/decade”并不矛盾。下限与实测值之间的间隔就是 m，而 m 是绝缘膜及其界面拿走的份额。

导通电流、关断电流，以及两者之比

进入第二个数字。如果说阈值以下摆幅衡量的是导通的过程，这次要看的则是导通状态与关断状态本身。

• 导通电流 —— 代表在导通条件下流过的电流的数值。
• 关断电流 —— 代表在关断条件下流过的电流的数值。
• 导通·关断比 —— 前者除以后者所得的值。

在 #03 中看到的原则在这里同样适用。三者都是定义值。若不确定要读取曲线上的哪一点 —— 栅极电压取多少、漏极电压取多少 —— 数值也就无法确定。因此导通电流与关断电流必须连同读取时的条件一起写下，意义才得以保留。

比值的含义很直观。维基百科 《Organic field-effect transistor》条目写道，导通·关断电流比是表示能否把器件关断的能力的数值，并介绍作为比较对象的非晶硅薄膜晶体管的数值为 10⁶~10⁸。从百万倍到一亿倍。

一旦熟悉了对数坐标，这个值用眼睛就能直接读出。纵向相隔几格就是数量级之差，而那就是比值。相隔七格即为 10⁷ 倍。

两个数字之间的关系也在这里显现。Bohuslavskyi 等人的测量论文写道，摆幅极小则接近理想开关，从而带来高的导通·关断电流比和低的待机功耗。摆幅越小，跨越同样数量级所需的电压就越窄，因而在给定的电压范围内能够拉开的数量级就越多。

在像素开关中，关断电流买来的是时间

在前一系列的 #04 中，我们把液晶屏的一个像素归结为一个开关和一个电容器。栅极布线打开一行开关写入亮度值，开关关断之后，电容器中储存的电荷把这个值一直保持到下一轮。

关断电流在这里做了什么，就此变得清楚。通过已关断的开关泄漏的电流会一点点吃掉储存的电荷。泄漏量大，下一轮到来之前数值就会变得模糊。像素开关中关断电流必须小，原因不在速度或强度，而在于能维持多久。

更换材料能让这段时间改变多少，公开文献中也有记载。维基百科 《Indium gallium zinc oxide》条目写道，这种氧化物半导体具有极低的泄漏电流，因而能够不必重写就保持画面信息，把功耗降到原来的五分之一至十分之一的水平。减少泄漏量，也就等于减少了重写的次数。

关断电流并非只经由一条路径

最后有一点必须说清楚。关断电流虽然只有一个名字，但造就这个数值的路径却有好几条。

维基百科 《Leakage (electronics)》条目把半导体中的泄漏路径并列如下。

• 穿过绝缘区域的量子隧穿 —— 厚度越薄，增长越呈指数。
• MOSFET 源极与漏极之间的阈值以下传导 —— 就是前面看到的那个区间。
• 横穿栅极绝缘膜的栅氧化膜隧穿
• 横穿高浓度掺杂 PN 结的结隧穿
• 布线之间的泄漏

在此之上还要加上光。屏幕中的器件始终处于光照之中。维基百科《Indium gallium zinc oxide》条目写道，这些器件具有一定的光敏性，该效应在光子能量 3 eV 以上，即从深紫色到紫外的区域变得明显。

因此仅看关断电流这一个数值，无法分辨是哪条路径变大了。要把路径分开来看，就得分别改变温度、漏极电压和光照条件来测量。该方法超出本系列的范围，将在另一个系列中单独讨论。

小结

• 阈值以下摆幅是让电流增大十倍所需的栅极电压。单位是 mV/decade，由于它是斜率的倒数，越小越陡。
• 室温下存在无法跨过的下限。0.02585 V × 2.3026 = 0.0595 V，即约 60 mV/decade。决定这个下限的不是结构而是温度，因为它源自载流子的热分布，故称为玻尔兹曼极限。
• 实际数值等于下限乘以 m = (C_ox + C_it)/C_ox。栅极电压被分成表面电位与绝缘膜的份额，界面上被束缚的电荷拿走更多份额时，到达沟道的电压就减少，曲线变平缓。
• 导通电流、关断电流及两者之比都是读取条件属于数值一部分的定义值。在对数坐标上，比值可直接读作纵向拉开的格数。非晶硅薄膜晶体管的导通·关断比被介绍为 10⁶~10⁸。
• 液晶像素的开关中关断电流必须小，原因在于储存的电荷必须留到下一轮。该关断电流是阈值以下传导、绝缘膜隧穿、结隧穿以及光致电流叠加而成的总和。

到此为止，我们用阈值电压和阈值以下斜率看了在哪里导通以及导通的样子。下一篇进入导通之后的话题，来看表示沟道中载流子移动得有多好的迁移率是如何从转移曲线中提取出来的。

参考资料

• Subthreshold slope — Wikipedia : 阈值以下区间的对数-线性行为、decade 表示漏极电流增大 10 倍的定义、S = ln(10)(kT/q)(1 + C_d/C_ox) 及其最小值 ln(10)kT/q（300 K 下为 60 mV/dec）、缩小后器件的室温实测约 70 mV/dec
• Subthreshold conduction — Wikipedia : 即使在阈值电压以下源极与漏极之间仍有电流延续的定义，以及其对数-线性斜率被用作开关效率指标的论述
• Thermal voltage — Wikipedia : V_T = kT/q 的定义与 300 K 下约 25.85 mV
• Tunnel field-effect transistor — Wikipedia : 载流子的热麦克斯韦–玻尔兹曼尾部把阈值以下摆幅在室温下限制在约 60 mV/decade 的论述，以及这是功耗缩减根本极限的记述
• A. Beckers, F. Jazaeri, C. Enz, "Revised theoretical limit of subthreshold swing in field-effect transistors" — arXiv:1811.09146 : 把这一下限称为玻尔兹曼极限，并报告在极低温下偏离该极限的温度相关极限
• H. Bohuslavskyi et al., "Cryogenic Subthreshold Swing Saturation in FD-SOI MOSFETs described with Band Broadening" — arXiv:1903.05409 : S = m·ln10·kT/e 与 m = (C_ox + C_it)/C_ox ≥ 1 的定义、栅极电压分成表面电位与绝缘膜份额的关系式、m = 1.14·1.23 的实测、4.3 K 下 7.3 mV/dec、小摆幅带来高导通·关断比的论述
• Organic field-effect transistor — Wikipedia : 导通·关断电流比表示能把器件关断的能力的论述，以及非晶硅 TFT 的 10⁶~10⁸
• Leakage (electronics) — Wikipedia : 半导体泄漏路径清单 —— 穿过绝缘区域的量子隧穿、阈值以下传导、栅氧化膜隧穿、高浓度掺杂 PN 结的隧穿、布线间的泄漏
• Indium gallium zinc oxide — Wikipedia : 极低的泄漏电流、不必重写即可保持画面信息从而把功耗降至五分之一~十分之一的论述、在光子能量 3 eV 以上变得明显的光敏性
• ※ 上述清单中引用自 Wikipedia 条目的部分遵循 CC BY-SA 4.0 许可。