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블로그 · 반도체에서 트랜지스터까지

반도체에서 트랜지스터까지 #02 — 에너지 띠와 도핑: 안 통하는 물질을 통하게 만드는 법

2026년 9월 7일·조회 30·댓글 0

시리즈반도체에서 트랜지스터까지·2 / 9편

지난 편은 질문 하나를 남겼습니다. 순수한 실리콘은 전자가 전부 결합에 묶여 있어 전기가 거의 통하지 않는다고 했는데, 그러면 온도를 올렸을 때 통하게 되는 전자는 어디서 오는가입니다.

답하려면 도구가 하나 필요합니다. 전자가 가질 수 있는 에너지를 그림으로 그리는 방법, 에너지 띠입니다.

본문의 계산에 등장하는 조건 값(농도·온도 등)은 계산 과정을 보이기 위한 예시이며, 특정 회사의 사양이 아닙니다. 인용한 수치는 모두 공개 문헌에서 확인한 값이고 출처를 글 끝에 남깁니다.

전자는 아무 에너지나 가질 수 없다

원자 하나 안에서 전자는 정해진 껍질에만 있을 수 있습니다. 껍질 사이의 어중간한 자리에는 머물지 못합니다.

원자가 수없이 많이 모여 결정이 되면 이 자리들이 서로 겹쳐 띠(band)가 됩니다. 좁은 계단이 폭넓은 층으로 바뀌는 셈인데, 왜 그렇게 되는지는 한 단계 더 들어가야 보입니다. 위키백과 「Electronic band structure」 문서는 원자가 여럿 모이면 각 이산 에너지 준위가 N개로 갈라지고 저마다 다른 에너지를 갖는다고 적습니다. N은 서로 궤도를 섞는 원자의 수입니다.

지난 편에서 실리콘 결정 1 cm3의 원자 수를 약 5.0 × 1022개로 세었습니다. 「Electronic band structure」 문서도 고체 속 원자 수를 N ≈ 1022 규모로 잡고, 갈라진 준위가 그만큼 많아지면 간격이 사실상 사라져 연속체, 곧 에너지 띠를 이룬다고 기술합니다. 계단 하나가 1022개로 쪼개지면 더는 계단으로 보이지 않습니다.

채워지는 순서도 정해져 있습니다. 「Electronic band structure」 문서는 파울리 배타 원리가 궤도 하나에 들어갈 전자를 둘로 제한하며, 띠는 에너지가 낮은 쪽부터 채워진다고 적습니다. 반도체를 볼 때 중요한 층은 두 개입니다.

  • 가전자대(valence band) — 공유결합에 묶여 있는 전자들이 앉아 있는 층입니다. 자리를 지키고 있어서 전류를 나르지 못합니다.
  • 전도대(conduction band) — 결합에서 풀려나 결정 안을 돌아다닐 수 있는 전자들의 층입니다. 여기 올라온 전자만 전류가 됩니다.

두 층 사이에는 전자가 머물 수 없는 구간이 있습니다. 이 구간을 밴드갭(band gap), 우리말로 금지대라 부릅니다. 전자는 이 틈에 걸쳐 있을 수 없고, 아래층에 있거나 위층으로 건너가거나 둘 중 하나입니다.

세 물질의 차이는 이 틈 하나다

도체·반도체·절연체의 차이가 이 그림에서는 간단해집니다.

  • 도체 — 두 띠가 붙어 있거나 겹쳐 있습니다. 건너갈 틈 자체가 없으니 전압을 걸면 곧바로 흐릅니다.
  • 절연체 — 틈이 너무 넓습니다. 상온의 열로는 아무도 건너가지 못합니다.
  • 반도체 — 틈이 애매하게 좁습니다. 대부분은 못 건너지만 극히 일부는 건넙니다.

위키백과 「List of semiconductor materials」 문서는 실리콘의 밴드갭을 1.12 eV로 적습니다. 이 "애매함"이 반도체의 전부입니다.

도체·반도체·절연체의 에너지 띠 비교 — 두 띠가 붙은 도체, 1.12 eV만큼 벌어진 반도체, 건널 수 없을 만큼 넓은 절연체

얼마나 애매한지 숫자로 재 보면

eV는 전자 하나가 1 V의 전위 차를 건널 때 얻는 에너지입니다. 줄(J)로 바꾸려면 전자 전하 1.602177 × 10-19 C를 곱하면 되므로, 밴드갭 1.12 eV는 1.79 × 10-19 J입니다. 자릿수만 보면 터무니없이 작지만 전자 하나에게는 큰 값입니다. 얼마나 큰지는 열에너지와 나란히 놓아야 드러납니다.

상온에서 열이 전자에게 주는 에너지의 크기는 kT로 가늠합니다. k는 볼츠만 상수 1.380649 × 10-23 J/K이고 T는 절대온도입니다. 300 K를 넣으면

kT = 1.380649 × 10-23 × 300 = 4.142 × 10-21 J

전자볼트로 바꾸려면 전자 전하 1.602177 × 10-19 C로 나눕니다.

kT = 4.142 × 10-21 ÷ 1.602177 × 10-19 = 약 0.0259 eV

밴드갭 1.12 eV의 43분의 1입니다. 평균적인 열에너지로는 어림도 없다는 뜻입니다. 그런데 열은 모든 전자에게 똑같이 나뉘지 않습니다. 운 좋게 평균보다 훨씬 큰 에너지를 받는 전자가 극소수 생기고, 그 몇이 틈을 건넙니다.

몇이나 될까요. 위키백과 「Charge carrier density」 문서는 300 K 실리콘의 진성 캐리어 농도를 9.65 × 109 cm-3으로 적습니다. 순수한 실리콘 1 cm3에 스스로 풀려난 전자가 약 96억 개 있다는 뜻입니다.

많아 보이지만 비교하면 그렇지 않습니다. 위키백과 「Doping (semiconductor)」 문서도 같은 부피의 실리콘 원자를 약 5 × 1022개로 적습니다. 나눠 보면

5 × 1022 ÷ 9.65 × 109 ≈ 5 × 1012

원자 5조 개당 자유 전자 하나입니다. 이래서 순수한 실리콘은 사실상 절연체처럼 행동합니다.

왜 온도에 그렇게 민감한지도 설명됩니다. 건너는 전자의 수는 온도에 지수적으로 늘어납니다. 지난 편에서 본 큰 음(-) 온도계수가 이 지수에서 나옵니다.

그래서 불순물을 넣는다

순수해서 안 통한다면 방법은 일부러 더럽히는 것입니다. 이 조작을 도핑(doping)이라 부릅니다.

N형 — 전자를 남기는 불순물

실리콘은 가전자가 넷입니다. 그 자리에 가전자가 다섯인 원소, 예를 들어 인(P)을 끼워 넣습니다. 네 개는 이웃과 공유결합을 만드는 데 쓰이고 하나가 남습니다.

남은 전자는 결합에 묶여 있지 않아 약한 힘으로만 붙잡혀 있습니다. 2017년 Scientific Reports에 실린 연구는 실리콘 속 인의 이온화 에너지 통용값을 45.59 meV로 적고 있습니다. 밴드갭 1.12 eV의 25분의 1이고, 앞에서 계산한 상온 kT 0.0259 eV로 나누면 1.76배에 지나지 않습니다.

그래서 상온에서 이 전자들은 거의 다 풀려납니다. 전자를 내어 주는(donate) 불순물이라 도너(donor)라 하고, 전자가 다수가 된 이 반도체를 N형이라 부릅니다. 음전하(Negative)의 N입니다.

P형 — 빈자리를 남기는 불순물

반대로 가전자가 셋인 원소, 예를 들어 붕소(B)를 끼우면 결합 하나가 비어 버립니다. 이 빈자리를 정공(hole)이라 부릅니다.

위키백과 「Doping (semiconductor)」 문서는 실리콘 속 붕소의 결합 에너지를 0.045 eV로, 밴드갭 약 1.12 eV와 나란히 적고 있습니다. 이 정도면 이웃 결합의 전자가 쉽게 옮겨 와 빈자리를 메웁니다.

메우는 순간 전자가 떠나온 자리가 새로 빈자리가 됩니다. 전자는 왼쪽으로, 빈자리는 오른쪽으로 옮겨 가는 셈입니다. 그래서 정공은 양전하를 띤 입자처럼 다룹니다. 전자를 받는(accept) 불순물이라 억셉터, 이 반도체를 P형이라 합니다.

얼마나 넣는가

「Doping (semiconductor)」 문서는 도핑의 정도에 이름을 붙여 둡니다. 가벼운 도핑은 진성 원자 1억 개당 불순물 하나, 무거운 도핑은 1만 개당 하나이고 뒤의 것을 n+·p+로 적습니다. 그리고 1018 cm-3을 넘으면 상온에서 축퇴(degenerate)로 보아, 반도체보다 도체처럼 행동하며 전도도가 금속에 견줄 만해진다고 기술합니다. 이 등급은 지난 편의 원자 밀도 5 × 1022 cm-3으로 나누면 농도가 됩니다.

  • 가벼운 도핑 → 5 × 1022 ÷ 108 = 5 × 1014 cm-3
  • 무거운 도핑 → 5 × 1022 ÷ 104 = 5 × 1018 cm-3

이 글은 도핑 농도를 1016 cm-3으로 가정하고 계산하겠습니다. 두 등급의 사이이고 축퇴선인 1018보다 두 자릿수 낮으니 아직 반도체답게 행동하는 구간입니다. 실리콘 원자 5 × 1022개와 비교하면

5 × 1022 ÷ 1016 = 5 × 106

오백만 개에 하나입니다. 그런데 이 하나가 자유 전자를 96억 개에서 1경 개로, 즉 백만 배로 늘립니다. 반도체 공학이 결국 "얼마나 깨끗하게 만들고 얼마나 정확하게 더럽히느냐"의 문제인 이유입니다.

N형과 P형 도핑 — 가전자 다섯인 인은 전자 하나를 남기고, 가전자 셋인 붕소는 결합 하나를 비운다

다수 캐리어와 소수 캐리어

N형에는 전자가 많고 P형에는 정공이 많습니다. 많은 쪽을 다수 캐리어, 적은 쪽을 소수 캐리어라 부릅니다.

여기서 오해가 자주 생깁니다. "많다"와 "적다"를 9 대 1쯤으로 상상하는 것인데, 실제 비는 비교가 안 될 만큼 큽니다.

위키백과 「Mass action law (electronics)」 문서는 열평형 상태에서 전자 농도 n과 정공 농도 p의 곱이 진성 캐리어 농도의 제곱으로 일정하다고 기술합니다.

n × p = ni2

한쪽을 늘리면 다른 쪽이 그만큼 줄어듭니다. 더해지는 것이 아니라 곱이 묶여 있습니다. 억셉터를 1016 cm-3 넣은 P형을 예로 넣어 보겠습니다. 억셉터가 거의 다 이온화한다고 가정하면 p ≈ 1 × 1016 cm-3이고,

n = ni2 ÷ p = (9.65 × 109)2 ÷ 1016 = 9.3 × 103 cm-3

정공 1경 개에 전자 9,300개. 비는 약 1조 대 1입니다. 9 대 1이 아니라 1,000,000,000,000 대 1입니다.

그래서 P형의 전류는 사실상 정공만이 나른다고 보아도 무방합니다. 그렇다고 소수 캐리어가 의미 없는 것은 아닙니다. 다음 편의 역방향 누설 전류가 바로 이 극소수가 만드는 것이고, 소자의 성능 한계를 자주 이쪽이 정합니다.

질량작용 법칙 np = ni² 와 계산 — 억셉터 10¹⁶ cm⁻³ 인 P형에서 정공 10¹⁶, 전자 9.3×10³으로 약 1조 대 1이 된다

도핑이 저항률을 얼마나 바꾸는가

"백만 배"는 감이 잘 오지 않습니다. 직접 계산해 보는 편이 빠릅니다. 지난 편에서 인용한 위키백과 「Electron mobility」 문서는 전도도를 σ = e ( n μe + p μh )로 적습니다. 캐리어 수에 각자의 이동도를 곱해 더하고 전하를 곱한 값이고, 저항률은 그 역수 ρ = 1/σ입니다. 대입할 값은 이미 다 나왔습니다 — 전자 전하 1.602177 × 10-19 C, 이동도 μe = 1,400·μh = 450 cm2/(V·s), 진성 농도 9.65 × 109 cm-3입니다.

먼저 순수한 실리콘입니다. n과 p가 모두 9.65 × 109이므로

σ = 1.602177 × 10-19 × 9.65 × 109 × (1,400 + 450) = 2.86 × 10-6 S/cm

ρ = 1 ÷ (2.86 × 10-6) = 3.5 × 105 Ω·cm, 곧 3.5 × 103 Ω·m

지난 편에서 인용한 저항률 표의 순수 실리콘 값은 2.3 × 103 Ω·m였습니다. 이동도와 진성 농도가 시료·온도에 따라 조금씩 달라지므로 같은 자릿수면 맞아떨어진 것으로 봅니다.

이번에는 도너를 1016 cm-3 넣은 N형입니다. 전자는 거의 1016, 정공은 앞 절의 관계식으로 9.3 × 103입니다.

σ = 1.602177 × 10-19 × ( 1016 × 1,400 + 9.3 × 103 × 450 ) ≈ 2.24 S/cm

ρ = 1 ÷ 2.24 = 0.45 Ω·cm, 곧 4.5 × 10-3 Ω·m

두 값을 나누면 3.5 × 103 ÷ (4.5 × 10-3) ≈ 78만 배입니다. 오백만 개에 하나를 끼워 넣은 대가로 저항률이 78만분의 1이 되었습니다. 위키백과 「Semiconductor」 문서가 도핑으로 전도도가 수천 배에서 수백만 배까지 달라질 수 있다고 적은 범위 안입니다.

페르미 준위 — 어디까지 차 있는가

마지막으로 익혀 두면 좋은 개념이 하나 있습니다. 페르미 준위(Fermi level)입니다.

위키백과 「Fermi level」 문서는 이를 고체에 전자 하나를 더 넣는 데 드는 열역학적 일로 정의합니다. 직관적으로는 "전자가 어느 에너지까지 차 있는가"를 나타내는 기준선이라고 보면 됩니다.

「Fermi level」 문서는 한 가지를 분명히 합니다 — 페르미 준위에 해당하는 에너지의 자리가 있다면, 그 자리가 점유될 확률은 50%입니다. 같은 서술이 “해당하는 자리가 있다면”이라고 조건을 단 데서 드러나듯, 그 에너지에 자리가 아예 없을 수도 있습니다. 반도체에서 페르미 준위가 전자는 머물 수 없는 밴드갭 안에 놓이는 경우가 그렇습니다 — 기준선일 뿐 전자가 앉는 자리가 아니기 때문입니다.

50%라는 값을 확률식으로 확인해 본다

그 50%는 어디서 나온 값일까요. 위키백과 「Fermi–Dirac statistics」 문서는 에너지가 ε인 자리가 채워질 확률을 F(ε) = 1 ÷ ( e(ε − μ)/kT + 1 )로 적습니다. μ가 페르미 준위입니다. ε = μ를 넣으면 지수가 0이 되어 e0 = 1이고 F = 1 ÷ (1 + 1) = 0.5입니다.

이 식으로 전도대 바닥의 사정도 볼 수 있습니다. 순수한 실리콘에서 페르미 준위가 밴드갭 한가운데에 놓인다고 두겠습니다(이 글의 가정입니다). 전도대 바닥까지의 거리는 밴드갭의 절반인 0.56 eV이고, kT 0.0259 eV로 나누면

(ε − μ) ÷ kT = 0.56 ÷ 0.0259 = 21.6

F = 1 ÷ (e21.6 + 1) ≈ 1 ÷ (2.4 × 109) ≈ 4 × 10-10

전도대 바닥에 자리가 있어도 채워질 확률이 24억분의 1이라는 뜻입니다. 「Fermi–Dirac statistics」 문서는 (ε − μ)가 kT보다 훨씬 클 때 분모의 +1이 무시되어 이 식이 맥스웰-볼츠만 지수형으로 바뀐다고 적는데, 21.6이면 이미 그 구간입니다. 남는 것은 지수 하나이고 그 분모에 온도가 앉아 있습니다. 온도를 올리면 이 확률이 지수적으로 커집니다 — 앞에서 "온도에 지수적으로 늘어난다"고 한 말의 근거입니다.

도핑은 이 선을 움직입니다. N형은 전자가 많으니 선이 전도대 쪽으로 올라가고, P형은 정공이 많으니 가전자대 쪽으로 내려갑니다. 이 선의 높이 차이가 다음 편의 주인공입니다 — N형과 P형을 맞붙이면 선의 높이가 서로 달라서 무슨 일이 벌어지는가.

정리

  • 전자는 가전자대와 전도대에만 있을 수 있고, 그 사이 밴드갭에는 머물 수 없습니다. 실리콘의 밴드갭은 1.12 eV입니다.
  • 상온 열에너지 kT는 계산하면 약 0.0259 eV, 밴드갭의 43분의 1입니다. 그래서 스스로 건너는 전자는 원자 5조 개당 하나뿐입니다.
  • 도핑은 가전자 5개(도너, N형) 또는 3개(억셉터, P형) 원소를 끼워 넣는 조작입니다. 이온화 에너지가 밴드갭의 25분의 1 수준이라 상온에서 거의 다 풀려납니다.
  • 다수와 소수의 비는 n × p = ni2이 정합니다. 예시 조건에서 약 1조 대 1입니다.
  • σ = e(nμe + pμh)로 계산하면 저항률이 순수할 때 3.5 × 103 Ω·m에서 도핑 후 4.5 × 10-3 Ω·m로, 78만 배 낮아집니다.

다음 편은 드디어 소자입니다. N형과 P형을 맞붙이기만 했는데 경계에 벽이 생기고, 그 벽 하나가 전류를 한쪽으로만 흐르게 만듭니다.

참고 자료

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