TFT 특성 파라미터 #02 — 전달 곡선: 게이트 전압으로 읽는 소자의 이력서

앞 편에서 출력 곡선을 읽었습니다. 게이트 전압 V_GS를 한 값에 붙들어 두고 드레인 전압 V_DS를 쓸면서, 전류가 곧게 오르다 무릎을 지나 평평해지는 것을 보았습니다.

출력 곡선은 소자가 얼마나 흘릴 수 있는가를 말해 줍니다. 그런데 거기에서 바로 읽히지 않는 것이 있습니다. 어느 게이트 전압에서 켜지기 시작하는지, 얼마나 급하게 켜지는지, 꺼져 있을 때 얼마나 새는지입니다. 출력 곡선은 이미 켜 놓은 소자를 들여다보는 그림이기 때문입니다.

그래서 축을 바꿔 끼웁니다. 이번에는 V_DS를 고정하고 V_GS를 씁니다. 이렇게 얻은 곡선을 전달 곡선(transfer curve)이라 부릅니다. 한 장에 담기는 숫자가 많아서, 소자의 이력서에 가깝습니다.

본문의 조건 값은 계산 과정을 보이기 위한 예시이며 특정 회사의 사양이 아닙니다. 인용한 수치는 모두 공개 문헌에서 확인한 값이고 출처를 글 끝에 남깁니다.

측정의 얼개 — 무엇을 붙들고 무엇을 쓰는가

재는 방법은 문장 하나로 끝납니다. 드레인 전압을 한 값에 고정하고, 게이트 전압을 시작점에서 끝점까지 한 단씩 옮기면서, 단마다 드레인 전류를 적습니다.

여기서 고를 것이 하나 있습니다. 드레인 전압을 얼마로 고정할 것인가입니다. 답은 둘이고, 둘 다 씁니다.

낮게 고정한다 — 선형 영역의 전달 곡선

위키백과 「MOSFET」 문서는 V_GS가 문턱전압 V_th보다 크고 V_DS가 (V_GS − V_th)보다 작을 때의 드레인 전류를 이렇게 적습니다.

I_D = μ C_ox (W/L) [ (V_GS − V_th) V_DS − V_DS²/2 ]

μ는 이동도, C_ox는 단위 면적당 게이트 절연막 용량, W와 L은 채널의 폭과 길이입니다. V_DS를 아주 작게 잡으면 V_DS²/2 항이 사라지다시피 하고 남는 것은

I_D ≈ μ C_ox (W/L) V_DS × (V_GS − V_th)

입니다. 게이트 전압이 들어 있는 자리는 마지막 괄호뿐입니다. 그러니 전류가 게이트 전압에 곧게 비례합니다. 선형 축에 그리면 직선이 나오고, 그 직선을 왼쪽으로 늘여 가로축과 만나는 자리가 문턱전압 부근입니다.

높게 고정한다 — 포화 영역의 전달 곡선

「MOSFET」 문서는 V_DS가 (V_GS − V_th) 이상일 때를 이렇게 적습니다.

I_D = (μ C_ox / 2)(W/L)(V_GS − V_th)² (1 + λ V_DS)

괄호가 제곱으로 들어 있습니다. 뒤의 (1 + λ V_DS)를 잠시 접어 두고 양변에 제곱근을 씌우면

√I_D = √( μ C_ox W / 2L ) × (V_GS − V_th)

가 됩니다. 이번에는 전류가 아니라 전류의 제곱근이 게이트 전압에 곧게 비례합니다.

두 조건이 서로 다른 것을 말해 주는 이유가 여기 있습니다. 낮은 V_DS에서는 I_D를 그대로 그려야 직선이 보이고, 높은 V_DS에서는 √I_D를 그려야 직선이 보입니다. 직선을 찾는 자리가 다르니, 거기서 뽑아내는 문턱전압과 이동도의 값도 같지 않습니다. 어느 쪽이 참값이라기보다, 소자를 어느 동작 조건에서 쓸 것인지에 맞추어 고르는 일에 가깝습니다.

세로축을 로그로 눕히는 이유

이제 곡선을 그립니다. 여기서 문제가 하나 생깁니다.

켜진 소자와 꺼진 소자의 전류는 크기가 비슷하지 않습니다. 아주 다릅니다. 위키백과 「Organic field-effect transistor」 문서는 소자가 꺼지는 능력을 나타내는 온·오프 전류비를 10⁶~10⁸ 범위로 적습니다. 백만 배에서 억 배입니다.

세로축을 선형으로 잡으면 어떻게 될까요. 눈금의 꼭대기를 온 전류에 맞춰야 하니, 그 백만분의 일인 오프 전류는 축의 두께 안으로 들어가 버립니다. 그림에서는 바닥에 붙은 평평한 선으로만 보입니다. 꺼진 쪽에서 벌어지는 일이 통째로 사라집니다.

그래서 세로축에 로그를 씌웁니다. 로그 축에서는 눈금 한 칸이 열 배입니다. 10⁻¹¹ A와 10⁻³ A가 같은 그림 안에 여덟 칸 간격으로 나란히 놓입니다. 전달 특성을 로그 축으로 옮겨야 비로소 전달 곡선다워지는 이유가 이것입니다.

대신 로그 축은 켜진 쪽의 모양을 뭉갭니다. 전류가 두 배로 늘어도 칸의 3할밖에 움직이지 않기 때문입니다. 그래서 두 축을 함께 그립니다. 같은 데이터를 한 번은 로그 축으로, 한 번은 선형 축으로 겹쳐 두면 로그 축이 꺼진 쪽을, 선형 축이 켜진 쪽을 맡습니다.

곡선의 네 구간

로그 축에 그린 전달 곡선은 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 성격이 네 번 바뀝니다.

오프 영역 — 새는 전류만 남는다

게이트 전압이 문턱보다 한참 낮은 구간입니다. 전류는 거의 평평하게 바닥에 깔려 있습니다. 이 값이 오프 전류 I_off입니다. 중요한 것은 0이 아니라는 점입니다.

문턱 아래 구간 — 로그 축의 직선

이 그림의 핵심입니다. 위키백과 「Subthreshold conduction」 문서는 문턱 아래 전도를 게이트·소스 전압이 문턱전압보다 낮을 때 소스와 드레인 사이에 흐르는 전류로 정의하고, 문턱 아래 누설 전류라고도 부른다고 적습니다.

「Subthreshold conduction」 문서는 문턱전압에 이르렀다고 전도가 곧바로 0이 되는 것이 아니라 게이트 전압에 대해 지수적으로 이어진다고 기술합니다. 그리고 이 전류를 게이트 전압에 대해 그리면 로그-선형 기울기가 나타나며 그것을 문턱 아래 기울기(subthreshold slope)라 부른다고 적습니다.

지수 함수에 로그를 씌우면 직선입니다. 그래서 이 구간이 로그 축에서 곧게 뻗습니다. 위키백과 「MOSFET」 문서는 이 구간의 전류를 I_D ≈ I_D0 e^{(V_GS − V_th) / nV_T}로 적습니다. 앞 시리즈에서 다이오드를 볼 때 만난 것과 같은 모양입니다. 분모의 V_T는 열전압이고, 「Thermal voltage」 문서는 300 K에서 약 25.85 mV라고 적습니다.

이 구간이 왜 돈과 열에 걸리는지도 「Subthreshold conduction」 문서에 있습니다. 소자가 작아지면서 문턱 아래 전도가 오프 상태 누설의 큰 몫이 되었고, 어떤 기술 세대에서는 전체 소비 전력의 50%까지 차지할 수 있다는 기술입니다.

문턱 부근 — 뾰족한 점이 없다

직선이던 것이 휘면서 꺾이는 구간입니다. 문턱전압을 이 근처에서 정합니다. 다만 「여기가 문턱이다」라고 점을 찍을 수 있는 뾰족한 자리는 없습니다. 곡선은 부드럽게 휠 뿐입니다. 그래서 정의가 따로 필요해집니다.

온 영역 — 켜진 뒤에도 오른다

완전히 켜진 뒤입니다. 로그 축에서는 거의 평평해 보이지만 선형 축으로 옮기면 여전히 오르고 있습니다. 미리 정해 둔 게이트 전압에서 읽은 값이 온 전류 I_on입니다.

이 한 장에서 나오는 값들

네 구간을 이름으로 짚었으니, 이 한 장에서 뽑아내는 숫자를 목록으로 먼저 보이겠습니다. 각각은 뒤의 편에서 하나씩 따로 다룹니다.

• 문턱전압 V_th — 켜지기 시작하는 게이트 전압. 곡선이 꺾이는 자리에서 정합니다.
• 문턱 아래 기울기 — 전류를 열 배 늘리는 데 게이트 전압이 몇 mV 필요한가. 단위는 mV/decade입니다.
• 온 전류 · 오프 전류 · 그 비 — 곡선의 위 끝과 아래 끝, 그리고 둘 사이의 자릿수.
• 이동도 μ — 곡선의 기울기에서 나옵니다. 캐리어가 얼마나 잘 달리는가.
• 이력(hysteresis) — 올리며 잰 곡선과 내리며 잰 곡선의 어긋남.

문턱 아래 기울기에는 넘을 수 없는 벽이 있다

위키백과 「Subthreshold slope」 문서는 이 기울기를 이렇게 적습니다.

S = ln(10) × (kT/q) × (1 + C_d/C_ox)

C_d는 공핍층 용량, C_ox는 게이트 절연막 용량이고 kT/q는 열전압입니다. 값을 넣어 보겠습니다. 300 K에서 kT/q는 25.85 mV이고 ln(10)은 약 2.3026입니다.

2.3026 × 25.85 mV ≈ 59.5 mV

괄호 안이 1일 때, 즉 C_d가 0에 가까워 게이트가 채널을 온전히 쥐고 있을 때의 값입니다. 「Subthreshold slope」 문서가 상온 300 K에서 60 mV/decade를 달성 가능한 최소값으로 적는 근거가 이 계산입니다. 아무리 잘 만들어도 전류를 열 배 늘리려면 게이트 전압을 약 60 mV는 올려야 합니다.

괄호 안은 1보다 작아질 수 없습니다. C_d/C_ox가 늘 0 이상이기 때문입니다. 「Subthreshold slope」 문서는 미세화된 소자의 대표적인 실측값을 약 70 mV/decade로 적습니다. 59.5 mV에 1.2를 곱하면 71.4 mV이니, C_d가 C_ox의 2할쯤 되는 상태에 해당합니다.

이 숫자가 왜 중요한지는 곱해 보면 드러납니다. 어떤 소자의 기울기가 300 mV/decade라고 하겠습니다. 이 글은 설명을 위해 그 값을 가정합니다. 꺼진 상태에서 여섯 자릿수 위의 온 전류까지 올라가려면 게이트 전압이 300 mV × 6 = 1.8 V 필요합니다. 기울기가 100 mV/decade라면 같은 일에 0.6 V면 됩니다. 회로에 넣어 줄 전원 전압이 여기서 갈립니다.

kT/q가 분자에 있다는 점도 눈여겨볼 만합니다. 온도가 오르면 이 벽 자체가 높아집니다.

이동도는 기울기에서 나온다

앞에서 세운 선형 영역 식을 게이트 전압으로 미분하면

g_m = ∂I_D / ∂V_GS = μ C_ox (W/L) V_DS

가 됩니다. 위키백과 「MOSFET」 문서가 전달컨덕턴스 g_m을 ∂I_D/∂V_GS로 정의한 그 양입니다. 우변에서 μ만 남기고 옮기면

μ = g_m / [ C_ox (W/L) V_DS ]

입니다. 곡선의 기울기와 소자의 치수만 있으면 이동도가 나옵니다. 포화 조건에서는 앞서 본 √I_D 직선의 기울기를 같은 방식으로 씁니다. 낮은 V_DS와 높은 V_DS의 곡선을 둘 다 재는 이유가 여기에도 있습니다. 값을 실제로 뽑아내는 절차는 뒤의 편에서 따로 보겠습니다.

쓸기 방향 — 올릴 때와 내릴 때가 다르다

지금까지는 게이트 전압을 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 한 번 쓸었습니다. 끝까지 갔다가 되돌아 내려오면서 한 번 더 재면 어떻게 될까요.

두 곡선이 겹치면 앞서 지나간 일이 소자에 남지 않았다는 뜻입니다. 겹치지 않으면 남았다는 뜻입니다. 이 어긋남을 이력(hysteresis)이라 부릅니다.

탄소 나노튜브 박막 트랜지스터의 이력을 다룬 논문(DOI 10.3390/nano16140847)은 게이트에 의한 이력을 올리며 쓴 곡선과 내리며 쓴 곡선에서 각각 구한 문턱전압의 차이로 정의합니다. Nanomaterials 논문은 그 원인을 여러 계면에 갇히는 전하로 설명하며, 흡착된 산소와 물 분자가 중요한 역할을 한다고 기술합니다.

원리만 짚으면 이렇습니다. 게이트 전압을 올리는 동안 채널로 불러낸 캐리어 가운데 일부가 절연막과 반도체가 맞닿은 자리의 결함에 붙들립니다. 붙들린 전하는 게이트가 만든 전기장의 일부를 상쇄합니다. 그래서 되돌아 내려올 때는 같은 게이트 전압이라도 채널이 앞서와 다른 상태에 있고, 문턱전압이 옮겨 간 것처럼 보입니다.

붙들리고 풀리는 데에는 시간이 걸립니다. 그러므로 얼마나 빨리 쓰느냐가 결과를 바꿉니다. 한 점마다 오래 머물렀다 읽으면 갇히고 풀리는 과정이 더 많이 반영됩니다. 이 이력이 어떤 조건에서 커지고 무엇을 말해 주는지는 신뢰성을 다루는 다른 시리즈에서 따로 보겠습니다.

조건이 적히지 않은 곡선은 읽을 수 없다

여기까지 오면 마지막 규칙이 저절로 따라옵니다. 전달 곡선은 측정 조건과 한 묶음일 때만 뜻을 가집니다. 이유는 앞에서 이미 다 나왔습니다.

• 드레인 전압 — 낮게 잡았는지 높게 잡았는지에 따라 직선이 나오는 자리가 다르고, 거기서 뽑는 문턱전압과 이동도가 달라집니다.
• 쓸기 범위와 방향 — 어디에서 시작해 어디까지 가는지, 올리는 중인지 내리는 중인지에 따라 두 곡선이 어긋납니다.
• 쓸기 속도와 머무는 시간 — 한 점마다 얼마나 기다렸다 전류를 읽는지에 따라, 갇히고 풀리는 과정이 반영되는 정도가 달라집니다.
• 온도 — kT/q가 문턱 아래 기울기의 분자에 있습니다. 위키백과 「Threshold voltage」 문서는 문턱전압 자체의 온도 변화도 도핑 농도에 따라 −4 mV/K에서 −2 mV/K 사이라고 적습니다.
• 빛 — 반도체는 빛을 받으면 캐리어를 만듭니다. 위키백과 「Indium gallium zinc oxide」 문서는 IGZO 트랜지스터가 약간 광민감성이며 그 효과가 광자 에너지 3 eV 이상의 깊은 보라에서 자외선 영역에서 두드러진다고 적습니다.

온도와 빛이 실제로 곡선을 움직인다는 것은 문헌에서 확인됩니다. 이황화몰리브덴 트랜지스터의 이력을 다룬 arXiv 논문(1708.01238)은 게이트 전압·압력·온도·빛의 세기 가운데 어느 것을 올려도 이력이 강해진다고 보고합니다.

그래서 곡선 옆에는 V_DS 값, 쓸기 범위와 방향, 한 단의 크기, 측정 속도, 온도, 빛의 유무가 함께 적혀 있어야 합니다. 이것이 빠진 곡선은 그림일 뿐 데이터가 아닙니다. 두 소자를 비교하려는 사람에게는 더욱 그렇습니다. 조건이 다르면 비교 자체가 성립하지 않기 때문입니다.

정리

• 전달 곡선은 V_DS를 고정하고 V_GS를 쓸며 얻습니다. 낮은 V_DS에서는 I_D가, 높은 V_DS에서는 √I_D가 게이트 전압에 곧게 비례합니다.
• 온 전류와 오프 전류는 자릿수가 다르므로 세로축을 로그로 그립니다. 켜진 쪽의 모양을 보려면 선형 축을 함께 둡니다.
• 곡선은 오프 · 문턱 아래 · 문턱 부근 · 온 네 구간으로 나뉘고, 문턱 아래 구간은 지수 함수이므로 로그 축에서 직선입니다.
• 문턱 아래 기울기에는 상온 약 60 mV/decade라는 하한이 있습니다. ln(10) × 25.85 mV ≈ 59.5 mV에서 나오는 값입니다.
• 이 한 장에서 문턱전압 · 기울기 · 온 전류와 오프 전류 · 이동도 · 이력이 나옵니다. 대신 조건이 달라지면 같은 소자에서도 다른 곡선이 나옵니다.

다음 편은 이 목록의 첫 항목입니다. 뾰족한 지점이 없는 곡선에서 문턱전압을 어떻게 하나의 숫자로 정하는가를 봅니다.

참고 자료

• MOSFET — Wikipedia : 선형 영역·포화 영역·문턱 아래 영역의 드레인 전류 식과 각 영역의 성립 조건, 전달컨덕턴스 g_m = ∂I_D/∂V_GS의 정의
• Subthreshold conduction — Wikipedia : 문턱 아래 전도의 정의(문턱전압 아래 게이트 전압에서 소스·드레인 사이에 흐르는 전류), 문턱전압에서 전도가 즉시 0이 되지 않고 지수적으로 이어진다는 서술, 로그-선형 기울기를 문턱 아래 기울기로 부른다는 정의, 오프 상태 누설이 전체 소비 전력의 50%까지 차지할 수 있다는 기술
• Subthreshold slope — Wikipedia : S = ln(10)·(kT/q)·(1 + C_d/C_ox), 상온 300 K에서의 최소값 60 mV/decade, 미세화된 소자의 대표적 실측값 약 70 mV/decade
• Threshold voltage — Wikipedia : 문턱전압의 정의(소스와 드레인 사이에 전도 경로를 만드는 데 필요한 최소 게이트·소스 전압), 문턱 아래 누설이 게이트 바이어스에 지수적으로 변한다는 서술, 문턱전압의 온도 변화 −4 mV/K ~ −2 mV/K
• Thermal voltage — Wikipedia : V_T = kT/q의 정의와 300 K에서 약 25.85 mV라는 값
• Organic field-effect transistor — Wikipedia : 소자가 꺼지는 능력을 나타내는 온·오프 전류비 10⁶~10⁸
• Indium gallium zinc oxide — Wikipedia : IGZO 트랜지스터가 약간 광민감성이며 광자 에너지 3 eV 이상의 깊은 보라~자외선 영역에서 효과가 두드러진다는 서술
• Hysteresis-Induced Performance Variations and Interfacial Charge Trapping Characteristics in Carbon Nanotube Thin-Film Transistors, Nanomaterials (DOI 10.3390/nano16140847) : 게이트에 의한 이력을 정방향 쓸기와 역방향 쓸기에서 구한 문턱전압의 차이로 정의한다는 기술, 그 원인을 계면 전하 포획과 흡착된 산소·물 분자로 설명하는 서술
• Hysteresis in the transfer characteristics of MoS₂ transistors (arXiv:1708.01238) : 게이트 전압·압력·온도·빛의 세기 가운데 어느 것을 올려도 이력이 강해진다는 보고
• ※ 위 목록 가운데 Wikipedia 문서에서 인용한 부분은 CC BY-SA 4.0 라이선스를 따릅니다.