TFT 特性参数 #02 — 转移曲线：用栅极电压读出的器件履历

上一篇我们读了输出曲线：把栅极电压 V_GS 摁在某一个值上，扫描漏极电压 V_DS，看着电流笔直上升、越过膝点、而后变平。

输出曲线告诉我们的是器件能流多大电流。可是有些东西从那里读不出来：它在哪个栅极电压上开始导通、导通得有多陡、关断时又漏掉多少。原因在于，输出曲线是端详一个已经打开的器件的图。

于是把轴换过来。这一次固定 V_DS，扫描 V_GS。这样得到的曲线称为转移曲线（transfer curve）。一张图里装下的数字很多，几乎相当于器件的一份履历。

正文中的工作条件数值是为展示计算过程而设的示例，并非某家公司的规格。所引用的数值均在公开文献中核对过，出处列于文末。

测量的框架——摁住什么，扫什么

测法一句话就说完了：把漏极电压固定在一个值上，让栅极电压从起点到终点一档一档地挪，每挪一档就记下漏极电流。

这里有一件事要选：把漏极电压固定在多少。答案有两个，而且两个都要用。

固定得低——线性区的转移曲线

维基百科《MOSFET》条目把 V_GS 大于阈值电压 V_th、且 V_DS 小于 (V_GS − V_th) 时的漏极电流写成下面这样。

I_D = μ C_ox (W/L) [ (V_GS − V_th) V_DS − V_DS²/2 ]

μ 是迁移率，C_ox 是单位面积的栅极绝缘膜电容，W 和 L 是沟道的宽度与长度。把 V_DS 取得非常小，V_DS²/2 这一项就几乎消失，剩下的是

I_D ≈ μ C_ox (W/L) V_DS × (V_GS − V_th)

这一式。含有栅极电压的地方只有最后那个括号。所以电流与栅极电压成笔直的正比。画在线性轴上是一条直线，把这条直线向左延长、与横轴相交的地方，就在阈值电压附近。

固定得高——饱和区的转移曲线

《MOSFET》条目把 V_DS 大于等于 (V_GS − V_th) 的情形写成下面这样。

I_D = (μ C_ox / 2)(W/L)(V_GS − V_th)² (1 + λ V_DS)

括号是以平方的形式进来的。把后面的 (1 + λ V_DS) 暂且搁下，对两边开平方，就成为

√I_D = √( μ C_ox W / 2L ) × (V_GS − V_th)

这一式。这一回与栅极电压成笔直正比的不是电流，而是电流的平方根。

两种条件之所以告诉我们不同的事情，原因就在这里。在低 V_DS 下要把 I_D 照原样画出来才看得见直线，在高 V_DS 下则要画 √I_D 才看得见直线。找直线的地方不同，从那里提取出的阈值电压与迁移率的数值也就不一样。与其说哪一个才是真值，不如说这是按器件将在何种工作条件下使用来做的选择。

为什么要把纵轴放成对数

现在来画曲线。这里出现了一个问题。

导通的器件与关断的器件，其电流的大小并不相近，而是差得很远。维基百科《Organic field-effect transistor》条目把表示器件关断能力的开关电流比记为 10⁶~10⁸ 的范围，也就是一百万倍到一亿倍。

纵轴若取线性会怎样呢？刻度的顶端必须对准导通电流，于是只有它百万分之一的关断电流就钻进了轴的线宽里面。在图上只能看成贴着底部的一条平线，关断一侧发生的事情整个消失了。

所以要给纵轴套上对数。在对数轴上，一格就是十倍。10⁻¹¹ A 与 10⁻³ A 便能在同一张图里相隔八格并排摆下。转移特性必须搬到对数轴上才总算像一条转移曲线，原因就在这里。

代价是，对数轴会把导通一侧的形状压扁——电流即便翻一倍，也只挪动三成格。于是把两种轴一起画出来：同一批数据一次用对数轴、一次用线性轴叠在一起，对数轴管关断一侧，线性轴管导通一侧。

曲线的四个区间

画在对数轴上的转移曲线，从左往右走的过程中性格会变四次。

关断区——只剩下漏掉的电流

这是栅极电压远低于阈值的区间，电流几乎平平地铺在底部。这个值就是关断电流 I_off。要紧的是它不是 0。

亚阈值区——对数轴上的直线

这里是这张图的核心。维基百科《Subthreshold conduction》条目把亚阈值导通定义为栅源电压低于阈值电压时在源极与漏极之间流动的电流，并写道它也被称作亚阈值漏电流。

《Subthreshold conduction》条目描述说，并不是一到阈值电压导通就立刻变成 0，而是对栅极电压呈指数地延续下去。条目还写道，把这一电流对栅极电压画出来会出现对数—线性的斜率，该斜率称为亚阈值摆幅（subthreshold slope）。

指数函数套上对数就是直线，所以这一区间在对数轴上笔直延伸。维基百科《MOSFET》条目把这一区间的电流写作 I_D ≈ I_D0 e^{(V_GS − V_th) / nV_T}，与上一系列看二极管时遇到的形式相同。分母里的 V_T 是热电压，《Thermal voltage》条目记为 300 K 下约 25.85 mV。

这一区间为什么关乎钱和热，《Subthreshold conduction》条目里也有：随着器件变小，亚阈值导通成了关断态漏电的一大部分，在某些技术世代里甚至可占到整体功耗的 50%。

阈值附近——没有尖锐的点

这是原本笔直的线弯过去、折起来的区间。阈值电压就定在这附近。只是并没有一个可以点上一点说“阈值在这里”的尖锐位置，曲线只是平滑地弯曲而已。于是就另外需要一个定义。

导通区——开了之后还在往上走

这是完全导通之后的区间。在对数轴上看着几乎是平的，可一挪到线性轴上，它仍旧在上升。在预先定好的栅极电压处读到的值，就是导通电流 I_on。

从这一张图里得到的数值

四个区间都点过名了，接下来先把从这一张图里提取的数字列成一张单子。每一项都会在后面的篇章里逐个单独处理。

• 阈值电压 V_th——开始导通的栅极电压，定在曲线折弯的地方。
• 亚阈值摆幅——把电流提高十倍需要多少 mV 的栅极电压，单位是 mV/decade。
• 导通电流 · 关断电流 · 两者之比——曲线的上端与下端，以及两者之间的数量级。
• 迁移率 μ——从曲线的斜率中得到，表示载流子跑得有多好。
• 回滞（hysteresis）——往上扫得到的曲线与往下扫得到的曲线之间的错位。

亚阈值摆幅有一堵翻不过去的墙

维基百科《Subthreshold slope》条目把这一摆幅写成下面这样。

S = ln(10) × (kT/q) × (1 + C_d/C_ox)

C_d 是耗尽层电容，C_ox 是栅极绝缘膜电容，kT/q 是热电压。把数值代进去看看：300 K 下 kT/q 是 25.85 mV，ln(10) 约为 2.3026。

2.3026 × 25.85 mV ≈ 59.5 mV

这是括号等于 1 时，也就是 C_d 接近 0、栅极完整地攥住沟道时的值。《Subthreshold slope》条目之所以把常温 300 K 下的 60 mV/decade 记为可达到的最小值，依据正是这个计算。做得再好，要把电流提高十倍，栅极电压也得抬上约 60 mV。

括号不可能小于 1，因为 C_d/C_ox 总是不小于 0。《Subthreshold slope》条目把微缩器件的代表性实测值记为约 70 mV/decade。59.5 mV 乘以 1.2 得 71.4 mV，相当于 C_d 约为 C_ox 两成的状态。

这个数字为什么重要，乘一乘就显出来了。假设某个器件的摆幅是 300 mV/decade——本文为便于说明而设定这个值。要从关断状态爬到高出六个数量级的导通电流，栅极电压就需要 300 mV × 6 = 1.8 V。若摆幅是 100 mV/decade，同样的事 0.6 V 就够了。要供给电路的电源电压，就在这里分道扬镳。

kT/q 位于分子上这一点也值得留意：温度一升，这堵墙本身就变高。

迁移率由斜率得出

把前面立好的线性区公式对栅极电压求导，便得到

g_m = ∂I_D / ∂V_GS = μ C_ox (W/L) V_DS

这一式，正是维基百科《MOSFET》条目把跨导 g_m 定义为 ∂I_D/∂V_GS 的那个量。把右边移项、只留下 μ，便是

μ = g_m / [ C_ox (W/L) V_DS ]

这一式。只要有曲线的斜率和器件的尺寸，迁移率就出来了。在饱和条件下，则用前面看过的 √I_D 直线的斜率，方法相同。低 V_DS 与高 V_DS 的曲线都要测的理由，这里也有一条。实际提取数值的步骤，留待后面的篇章另行细看。

扫描方向——往上与往下并不相同

到目前为止，栅极电压都是从低往高扫了一遍。若走到头之后再折返往下多测一遍，又会怎样呢。

两条曲线若重合，说明先前经过的事情没有在器件里留下痕迹；若不重合，就说明留下了。这一错位称为回滞（hysteresis）。

一篇讨论碳纳米管薄膜晶体管回滞的论文（DOI 10.3390/nano16140847）把栅极引起的回滞定义为由正向扫描曲线与反向扫描曲线各自求得的阈值电压之差。该 Nanomaterials 论文把成因解释为被各个界面俘获的电荷，并写道吸附的氧分子与水分子起着重要作用。

只点原理的话是这样：在抬高栅极电压的过程中，被唤到沟道里的载流子有一部分会被绝缘膜与半导体交界处的缺陷俘获住。被俘获的电荷会抵消掉栅极所建电场的一部分。于是折返往下时，即便栅极电压相同，沟道也处在与先前不同的状态，看上去就像阈值电压挪了位置。

俘获与释放都需要时间。因此扫得多快会改变结果。每一点上多停留一会儿再读，被俘获与被释放的过程就反映得更多。这种回滞在什么条件下变大、又说明了什么，留待讨论可靠性的另一个系列另行细看。

没有写明条件的曲线读不了

走到这里，最后一条规则便自然而然地跟了上来：转移曲线只有与测量条件成为一套时才有意义。理由前面已经全部出现过了。

• 漏极电压——取得低还是取得高，直线出现的地方就不同，从那里提取的阈值电压与迁移率也随之不同。
• 扫描范围与方向——从哪里起、走到哪里，是正在往上还是正在往下，两条曲线会因此错开。
• 扫描速度与停留时间——每一点上等多久再读电流，俘获与释放过程被反映的程度就不同。
• 温度——kT/q 位于亚阈值摆幅的分子上。维基百科《Threshold voltage》条目还写道，阈值电压本身的温度变化随掺杂浓度而定，介于 −4 mV/K 与 −2 mV/K 之间。
• 光——半导体受光就会产生载流子。维基百科《Indium gallium zinc oxide》条目写道，IGZO 晶体管略有光敏性，其效应在光子能量 3 eV 以上的深紫到紫外区域尤为明显。

温度与光确实会移动曲线，这一点在文献中可以得到确认。一篇讨论二硫化钼晶体管回滞的 arXiv 论文（1708.01238）报告说，栅极电压、压力、温度、光强当中无论抬高哪一个，回滞都会增强。

所以曲线旁边必须一并写上 V_DS 的值、扫描范围与方向、每一档的大小、测量速度、温度、有无光照。缺了这些的曲线只是一张图，不是数据。对想要比较两个器件的人来说尤其如此——条件不同，比较本身就不成立。

小结

• 转移曲线是固定 V_DS、扫描 V_GS 而得到的。在低 V_DS 下是 I_D，在高 V_DS 下是 √I_D 与栅极电压成笔直的正比。
• 导通电流与关断电流相差若干数量级，所以纵轴要画成对数。想看导通一侧的形状，就把线性轴一并摆上。
• 曲线分为关断 · 亚阈值 · 阈值附近 · 导通四个区间，亚阈值区间是指数函数，所以在对数轴上是直线。
• 亚阈值摆幅有一个常温下约 60 mV/decade 的下限，这个值出自 ln(10) × 25.85 mV ≈ 59.5 mV。
• 这一张图里能得出阈值电压 · 摆幅 · 导通电流与关断电流 · 迁移率 · 回滞。代价是条件一变，同一个器件也会给出不同的曲线。

下一篇要讲这张单子上的第一项：在没有尖锐拐点的曲线上，究竟怎样把阈值电压定成一个数。

参考资料

• MOSFET — Wikipedia：线性区、饱和区、亚阈值区的漏极电流式与各区成立的条件，跨导 g_m = ∂I_D/∂V_GS 的定义
• Subthreshold conduction — Wikipedia：亚阈值导通的定义（栅极电压低于阈值时在源漏之间流动的电流），到阈值电压导通并不立刻变为 0 而是呈指数延续的叙述，把对数—线性斜率称为亚阈值摆幅的定义，关断态漏电可占整体功耗 50% 的记述
• Subthreshold slope — Wikipedia：S = ln(10)·(kT/q)·(1 + C_d/C_ox)，常温 300 K 下的最小值 60 mV/decade，微缩器件的代表性实测值约 70 mV/decade
• Threshold voltage — Wikipedia：阈值电压的定义（在源漏之间形成导电通路所需的最小栅源电压），亚阈值漏电随栅极偏置呈指数变化的叙述，阈值电压的温度变化 −4 mV/K ~ −2 mV/K
• Thermal voltage — Wikipedia：V_T = kT/q 的定义与 300 K 下约 25.85 mV 这一数值
• Organic field-effect transistor — Wikipedia：表示器件关断能力的开关电流比 10⁶~10⁸
• Indium gallium zinc oxide — Wikipedia：IGZO 晶体管略有光敏性、其效应在光子能量 3 eV 以上的深紫至紫外区域尤为明显的叙述
• Hysteresis-Induced Performance Variations and Interfacial Charge Trapping Characteristics in Carbon Nanotube Thin-Film Transistors, Nanomaterials (DOI 10.3390/nano16140847)：把栅极引起的回滞定义为正向扫描与反向扫描所得阈值电压之差的记述，以及用界面电荷俘获和吸附的氧分子、水分子来解释其成因的叙述
• Hysteresis in the transfer characteristics of MoS₂ transistors (arXiv:1708.01238)：栅极电压、压力、温度、光强当中无论抬高哪一个回滞都会增强的报告
• ※ 上列条目中引用自 Wikipedia 的部分，遵循 CC BY-SA 4.0 许可。